Enunciado

14.18. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.

f x , y = x 2 y e - x 2 ⋅ - y 2

Passo 1

A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.

Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.

Vamos começar determinando nossas derivadas

f x , y = x 2 y e - x 2 - y 2

Vamos derivar primeiro em relação à x , vamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto é a seguinte:

f x = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Mas antes de tudo, repare que y é uma constante, então podemos fazer o seguinte

f x = y ∂ x 2 e - x 2 - y 2 ∂ x

Agora podemos fazer a regra do produto.

Vamos fazer

h = x 2

Então

h ' = 2 x

E

g = e - x 2 - y 2

Então

g ' = - 2 x e - x 2 - y 2

Agora a gente pode fazer a derivada

f x = y ⋅ 2 x e - x 2 - y 2 + x 2 - 2 x e - x 2 - y 2

Simplificando

f x = y 2 x e - x 2 - y 2 - 2 x 3 e - x 2 - y 2

f x = 2 x y e - x 2 - y 2 1 - x 2

Agora a gente faz a derivada em relação a y , e vamos usar a mesma estratégia, regra do produto

f y = h ' ⋅ g + h ⋅ g '

Agora x 2 é constante, então

f y = x 2 ∂ y e - x 2 - y 2 ∂ x

Vamos fazer

h = y

Então

h ' = 1

E

g = e - x 2 - y 2

Então

g ' = - 2 y e - x 2 - y 2

Agora a gente pode fazer a derivada

f y = x 2 1 e - x 2 - y 2 + y - 2 y e - x 2 - y 2

Simplificando

f y = x 2 e - x 2 - y 2 - 2 y 2 e - x 2 - y 2

f y = x 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 y 2

Passo 2

Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então

f x = 2 x y e - x 2 - y 2 1 - x 2 = 0

f y = x 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 y 2 = 0

Vamos lá, nas duas equações, veja que se x = 0 não importa o valor de y , o resultado é 0 , então pontos do tipo 0 , y são pontos críticos.

Para além disso, se 1 - x 2 = 0 então f x = 0 , logo, x = ± 1 , vamos substitui isso em f y , veja que como x está elevado ao quadrado, não importa se seu valor é positivo ou negativo

( 1 ) e - ( 1 ) - y 2 1 - 2 y 2 = 0

Isso só é 0 se 1 - 2 y 2 = 0 , então y = ± 1 2 , então temos outros quatro pontos críticos

± 1   ,   ± 1 2

Ou

1 , 1 2   ,   - 1 , 1 2 ,   1 ,   - 1 2   e   - 1 , 1 2

Passo 3

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Vamos calcular as segundas derivadas então

f x x = ∂ f x ∂ x

f x = 2 x y e - x 2 - y 2 1 - x 2

Agora derivamos isso em relação a x

f x x = ∂ 2 x y e - x 2 - y 2 1 - x 2 ∂ x = 2 y e - x 2 - y 2 ( 2 x 4 - 5 x 2 + 1 )

A outra derivada que precisamos é

f y y = ∂ f y ∂ y

f y = x 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 y 2 )

Derivando em relação a y

f y y = ∂ x 2 e - x 2 - y 2 1 - 2 y 2 ∂ y = 2 x 2 y e - x 2 - y 2 2 y 3 - 3

E a última derivada que precisamos é

f x y = ∂ f x ∂ y

ou f x y = ∂ f y ∂ x

f x = 2 x y e - x 2 - y 2 1 - x 2

Vamos derivar isso em relação a y

f x y = ∂ 2 x y e - x 2 - y 2 1 - x 2 ∂ y = 2 x e - x 2 - y 2 1 - x 2 1 - 2 y 2

Então

D x , y = 2 y e - x 2 - y 2 ( 2 x 4 - 5 x 2 + 1 ) ⋅ 2 x 2 y e - x 2 - y 2 2 y 3 - 3 - 2 x e - x 2 - y 2 1 - x 2 1 - 2 y 2 2

Essa equação ficou grandinha né?

Passo 4

Vamos testar para o ponto 0,0

D 1 , 1 2 = 8 e - 3

Já vou colocar as respostas direto para a gente não ficar fazendo aquelas equações gigantes.

D 1 , 1 2 > 0

Então temos que analisar f x x 1 , 1 2

f x x 1 , 1 2 = - 2 2 e - 3 2 < 0

Então é um ponto de mínimo.

Pelas configurações de D , todo x está elevado à um número par, então vai dar a mesma coisa para o ponto - 1 , 1 2 e coincidentemente vai dar o mesmo resultado para o ponto - 1 , 1 2 .

A gente cortou um caminho, mas ainda faltam infinitos pontos para a gente analisar, literalmente, os pontos do tipo 0 , y , mas vamos tentar não fazer tantas contas.

Nossa função é

f x , y = x 2 y e - x 2 ⋅ - y 2

Se y > 0 então f x , y > 0 exceto se x = 0 , nesse caso f x , y = 0 , então vemos que quando x = 0 e y > 0 temos um valor menor para essa função do que qualquer outro ponto onde y > 0 e x ≠ 0 , então ( 0 ,   y ) para y > 0 são todos pontos de mínimo.

Agora vamos pensar para y < 0 , então f x , y < 0 , de novo, exceto se x = 0 , nesse caso f x , y = 0 , então vemos que quando x = 0 e y < 0 temos um valor maior para essa função do que qualquer outro ponto onde y < 0 e x ≠ 0 , então ( 0 ,   y ) para y < 0 são todos pontos de máximo.

Dadas essas condições, o ponto ( 0,0 ) tem que ser necessariamente um ponto de sela.

Passo 5

Agora só falta fazer o gráfico.

Resposta

O ponto de sela é

( 0,0 )

E os pontos de mínimos são

± 1 , ± 1 2 ,   0 , y para y > 0

finalmente os pontos de máximo são

( 0 , y ) para y < 0

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