Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 18
14.18. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o ponto de vista que mostre os aspectos importantes da função.
Passo 1
A gente tem que determinar os pontos extremos da nossa função, e depois ver se são pontos de mínimo, de máximo ou um ponto de sela.
Para a gente fazer isso, a gente tem que trabalhar com as derivadas, acontece o seguinte, a gente deriva a função e iguala a derivada à 0, então nós teremos nosso ponto de interesse.
Vamos começar determinando nossas derivadas
Vamos derivar primeiro em relação à , vamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto é a seguinte:
Mas antes de tudo, repare que é uma constante, então podemos fazer o seguinte
Agora podemos fazer a regra do produto.
Vamos fazer
Então
E
Então
Agora a gente pode fazer a derivada
Simplificando
Agora a gente faz a derivada em relação a , e vamos usar a mesma estratégia, regra do produto
Agora é constante, então
Vamos fazer
Então
E
Então
Agora a gente pode fazer a derivada
Simplificando
Passo 2
Beleza, agora a gente já tem nossas derivadas, os pontos interessantes vão acontecer quando elas forem iguais à 0. Então
Vamos lá, nas duas equações, veja que se não importa o valor de , o resultado é , então pontos do tipo são pontos críticos.
Para além disso, se então , logo, , vamos substitui isso em , veja que como está elevado ao quadrado, não importa se seu valor é positivo ou negativo
Isso só é se , então , então temos outros quatro pontos críticos
Ou
Passo 3
Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar
Podem ocorrer três casos:
- então é um mínimo local.
- então é um máximo local.
- então não é nem mínimo e nem máximo local.
Vamos calcular as segundas derivadas então
Agora derivamos isso em relação a
A outra derivada que precisamos é
Derivando em relação a
E a última derivada que precisamos é
ou
Vamos derivar isso em relação a
Então
Essa equação ficou grandinha né?
Passo 4
Vamos testar para o ponto
Já vou colocar as respostas direto para a gente não ficar fazendo aquelas equações gigantes.
Então temos que analisar
Então é um ponto de mínimo.
Pelas configurações de , todo está elevado à um número par, então vai dar a mesma coisa para o ponto e coincidentemente vai dar o mesmo resultado para o ponto .
A gente cortou um caminho, mas ainda faltam infinitos pontos para a gente analisar, literalmente, os pontos do tipo , mas vamos tentar não fazer tantas contas.
Nossa função é
Se então exceto se , nesse caso , então vemos que quando e temos um valor menor para essa função do que qualquer outro ponto onde e , então para são todos pontos de mínimo.
Agora vamos pensar para , então , de novo, exceto se , nesse caso , então vemos que quando e temos um valor maior para essa função do que qualquer outro ponto onde e , então para são todos pontos de máximo.
Dadas essas condições, o ponto tem que ser necessariamente um ponto de sela.
Passo 5
Agora só falta fazer o gráfico.
Resposta
O ponto de sela é
E os pontos de mínimos são
para
finalmente os pontos de máximo são
para