Enunciado

Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z, uma empresa utiliza dois fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por z = 900 - x 2 - y 2 + 32 x + 41 y . Determine a produção que maximiza o lucro.

Passo 1

Perceba que precisamos determinar a função lucro pra poder encontrar o máximo. Beleza?

Função lucro nada mais é que o que sobra do preço unitário de cada produto pelo custo de produção. Ou seja,

L = 5 z - 2 x + y

Substituindo,

L ( x , y ) = 4 500 - 5 x 2 - 5 y 2 + 160 x + 205   y - 2 x - y

Agora precisamos encontrar quem maximiza a função. Então vamo lá, minino!!!

Vamos derivar a função,

∂ L ∂ x x , y = - 10 x + 160 - 2  

E,

∂ L ∂ y x , y =   - 10 y + 205 - 1  

Encontrando o número crítico,

∂ g ∂ x x ,   y 0 = ∂ g ∂ y x ,   y

Igualando o valor de cada derivada a zero, temos que:

10 x = 158 ⟹ x = 15,8  

e,

y = 20,4

Com isso, substituindo os valores, ficamos com:

z = 1576,2

Resposta

z = 1576,2

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