Enunciado

14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tangente e vetor gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá...

Temos que determinar o vetor gradiente, e a gente calcula ele assim

∇ f x , y = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y >

Então

∇ f x , y = < 2 x ,   8 y >

Passo 2

Agora vamos achar à reta tangente, e como o exercício já nos diz, precisaremos de ∇ f ( 2,1 ) então vamos calcular

∇ f 2,1 = < 2 2 ,   8 1 >

∇ f 2,1 = < 4 ,   8 >

Agora para achar a reta tangente usamos a equação

∇ f 2,1 ⋅ < x - 2 ,   y - 1 >   = 0

Então temos um produto escalar aqui

< 4 ,   8 > ⋅ < x - 2 ,   y - 1 >   = 0

Isso vai dar

4 x - 2 + 8 y - 1 = 0

4 x - 8 + 8 y - 8 = 0

A gente pode dividir por 4

x - 2 - 2 y - 2 = 0

Simplificando

x + 2 y = 4

E temos a equação da reta.

Passo 3

Agora resta esboçar a reta.

Resposta

𝐴 equação da reta é

x + 2 y = 4

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
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