Enunciado

14.25. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.

f x , y , z = ln ⁡ x y 2 z 3 ,     ( 1 ,   - 2 ,   - 3 )

Passo 1

Para determinar a direção e o sentido onde a variação é máxima precisamos calcular ∇ f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z = y 2 z 3 x y 2 z 3 i + 2 x y z 3 x y 2 z 3 j + 3 x y 2 z 2 x y 2 z 3 k

∇ f x , y , z = 1 x i + 2 y j + 3 z k

Passo 2

A gente pode construir um vetor que aponta a direção e o sentido em que ocorre a maior variação, para isso só precisamos calcular a taxa de variação no ponto que o exercício dá

∇ f 1 ,   - 2 ,   - 3 = 1 1 i + 2 - 2 j + 3 - 3 ∇ f 1,1 , 1 = 1 i - 2 j - 3 k

Esse é o vetor que aponta na direção em que ocorre a maior variação.

Passo 3

Agora falta pouco, só calcular a maior taxa de variação.

A maior taxa de variação vai ser

∇ f 1 ,   - 2 ,   - 3 = 1 2 + - 2 2 + - 3 2 = 3

Resposta

∇ f 1,1 , 1 = 1 i - 2 j - 3 k

∇ f 1,1 , 1 = 3

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