Enunciado

14.39. Determine equações de (a) plano tangente e (b) reta normal a uma superfície dada no ponto especificado

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 ,     ( 4 , - 1,1 )

Passo 1

Vamos começar relembrando a equação do plano tangente

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E a equação da reta normal

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Vamos assumir que o nível da superfície está em

x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21

E vamos reunir outras informações que a gente precisa

F x 4 , - 1,1 = 2 x = 2 4 = 8

F y 4 , - 1,1 = 4 y = 4 - 1 = - 4

F z 4 , - 1,1 = 6 z = 6 1 = 6

Passo 2

Agora a gente tem tudo para começar a resolver o exercício. Vamos começar pelo item (a), o plano tangente

8 x - 4 + ( - 4 ) y - ( - 1 ) + 6 z - 1 = 0

Agora é só fazer as continhas

4 x - 2 y + 3 z = 21

Passo 3

Agora vamos resolver o item (b), a equação de uma reta normal.

x - 4 8 = y + 1 - 4 = z - 1 6

Resposta

a   4 x - 2 y + 3 z = 21 b x - 4 8 = y + 1 - 4 = z - 1 6

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