Enunciado

14.37. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 51

Passo 1

A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 42 da seção 7. O enunciado é esse:

“Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume possível?”

Seguinte, a nossa restrição é o comprimento diagonal de uma caixa retangular, então fica assim

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 = L 2

Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer f x , y , z , como estamos falando do volume de uma caixa retangular

f x , y , z = x y z

Passo 2

Vamos calcular o divergente

∇ f = < ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z >  

∇ f = < y z   ,   x z ,   x y >

E também precisamos do divergente de g x , y

λ ∇ g = λ < ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z >  

λ ∇ g = < 2 λ x ,   2 λ y ,   2 λ z >

Vamos começar fazendo

∂ f ∂ x = λ ∂ g ∂ x

y z = 2 λ x   ,     ( 1 )  

∂ f ∂ y = λ ∂ g ∂ y

  x z = 2 λ y   ,     ( 2 )

∂ f ∂ z = λ ∂ g ∂ z

x y = 2 λ z ,     3

Agora a gente deixa uma variável livre e coloca as outras variáveis em função da variável livre, por exemplo, eu vou deixar y como uma variável livre e escrever x em função de y e z em função de y também.

Vamos pegar a equação (1)

y z = 2 λ x

E a equação (2)

x z = 2 λ y

E vamos fazer ( 2 ) / ( 1 )  

x z y z = 2 λ y 2 λ x

Agora vamos fazer essas divisões

x y = y x

Então

x = y

E agora vamos pegar a equação (3)

x y = 2 λ z

E fazer ( 2 ) / ( 3 )

x z x y = 2 λ y 2 λ z

Fazendo essas divisões

z y = y z

Então

z = y

Passo 3

Agora vamos usar a equação de restrição

x 2 + y 2 + z 2 = L 2

Substituindo

3 x 2 = L 2

Agora a gente consegue achar um valor para x

x = L 3

Então

x = y = z = L 3

Então agora podemos determinar o volume

V = f x , y , z = x y z = L 3 ⋅ L 3 ⋅ L 3 = L 3 3 3

Resposta

V = L 3 3 3

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