Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 37
14.37. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 51
Passo 1
A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício 42 da seção 7. O enunciado é esse:
“Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume possível?”
Seguinte, a nossa restrição é o comprimento diagonal de uma caixa retangular, então fica assim
Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer , como estamos falando do volume de uma caixa retangular
Passo 2
Vamos calcular o divergente
E também precisamos do divergente de
Vamos começar fazendo
Agora a gente deixa uma variável livre e coloca as outras variáveis em função da variável livre, por exemplo, eu vou deixar como uma variável livre e escrever em função de e em função de também.
Vamos pegar a equação (1)
E a equação (2)
E vamos fazer
Agora vamos fazer essas divisões
Então
E agora vamos pegar a equação (3)
E fazer
Fazendo essas divisões
Então
Passo 3
Agora vamos usar a equação de restrição
Substituindo
Agora a gente consegue achar um valor para
Então
Então agora podemos determinar o volume
Resposta
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