Enunciado

A condição §ƒ = l§g não é suficiente Ainda que §ƒ = l§g

seja uma condição necessária para a ocorrência de um valor extremo de ƒ(x, y) sujeito às condições g(x, y) = 0 e §g Z 0, ela

não garante por si só que ele exista. Como exemplo, tente utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar

um valor máximo de ƒ(x, y) = x + y sujeito à restrição xy = 16.

O método irá identificar os dois pontos (4, 4) e (–4, –4) como

candidatos para a localização de valores extremos. Ainda assim,

a soma (x + y) não possui valor máximo na hipérbole xy = 16.

Quanto mais distante você vai com relação à origem nessa hipérbole no primeiro quadrante, maior fica a soma ƒ(x, y) = x + y.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, tentaremos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o valor máximo da função f ( x , y ) = x + y sujeito às restrições que x y = 16 . Acompanhe!

Passo 2

Começaremos o exercício calculando o gradiente das funções, veja:

∇ f = i + j ∇ g = y i + x j

Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:

∇ f = λ ∇ g i + j = λ ( y i + x j )

Passo 3

Separando as componentes vamos ter:

1 = x λ 1 = y λ

Levando a y = x Substituindo y = x em x y = 16 temos:

y 2 = 16 y = ± 4

Portanto, os pontos possíveis são:

( 4,4 ) , ( - 4 , - 4 )

Passo 4

Para resposta do nosso exercício, termos como possíveis candidatos a valores extremos os pontos ( 4,4 ) , ( - 4 , - 4 ) . Entretanto, conforme x → ∞ temos que y → ∞ e a função f ( x , y ) → ∞ . Por outro lado, se x → - ∞ , temos que y → 0 , e a função f ( x , y ) → - ∞ . Assim, não existe um valor máximo nem um valor mínimo sujeito a restrições.

Resposta

Resposta nos passos.

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