Enunciado

Determine os momentos de inércia para um cubo com densidade constante k e lados de comprimento   L se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados.

Passo 1

Primeiro vamos escrever nossa integral tripla:

I x = ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L k y 2 + z 2 d z d y d x

Passo 2

Então, vamos resolver nossa integral.

I x = ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L k y 2 + z 2 d z d y d x = k ∫ 0 L ∫ 0 L L y 2 + 1 3 L 3 )   d y d x = k ∫ 0 L 2 3 L 4 d x = 2 3 k L 5

Passo 3

Note que temos uma simetria em um quadrado de lados iguais, logo, por simetria:

I x - I y - I z = 2 3 k L 5

Resposta

2 3 k L 5

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Considere um cone circular reto homogêneo de altura h e raio de base R .Calcule o centro de massa.Calcule o momento de inércia em relação ao seu eixo.
Aplique o Teorema de Steiner ao item b do Exercício 4.
Calcule o cilindro homogêneo x - a 2 + y 2 ≤ a 2 e 0 ≤ z ≤ h Calcule o momento de inércia em relação à reta x = a e y = 0 Calcule o momento de inércia em relação ao eixo O z .
Considere o cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 e suponha que a densidade no ponto ( x , y , z ) seja x : Calcule o momento de inércia em relação ao eixo O z . Calcule o centro de Massa
Encontre o centro de massa de uma solido de densidade constante delimitado inferiormente pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e superiormente plano z=4Encontre o plano z = c que divide o solido em duas part