Enunciado

14.58. Mostre que o produto das intersecções com os eixos x,y e z de qualquer plano tangente à superfície x y z = c 3 é uma constante.

Passo 1

Para provar isso, vamos calcular um plano tangente para um ponto genérico x 0 , y 0 , z 0 , se o resultado for uma constante, significa que para qualquer ponto ( x , y , z ) o resultado é uma constante.

relembrando a equação do plano tangente

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E vamos reunir outras informações que a gente precisa

F x x 0 , y 0 , z 0 = y 0 z 0

F y x 0 , y 0 , z 0 = x 0 z 0

F z x 0 , y 0 , z 0 = x 0 y 0

Passo 2

Beleza agora temos nosso plano tangente.

y 0 z 0 x - x 0 + x 0 z 0 y - y 0 + x 0 y 0 z - z 0 = 0

x y 0 z 0 - x 0 y 0 z 0 + y x 0 z 0 - x 0 y 0 z 0 + z x 0 y 0 - x 0 y 0 z 0 = 0

Juntando x 0 y 0 z 0

x y 0 z 0 + y x 0 z 0 + z x 0 y 0 = 3 x 0 y 0 z 0

Agora a gente divide tudo por x 0 y 0 z 0

x 3 x 0 + y 3 y 0 + z 3 z 0   = 1

Passo 3

Pelo nosso plano tangente, vamos que em os pontos para intersecção do plano são

3 x 0 , 3 y 0 , 3 z 0

Fazendo o produto entre esses pontos

3 x 0 ⋅ 3 y 0 ⋅ 3 z 0 = 27 x 0 y 0 z 0 = 27 c 3

O que é uma constante.

Por tanto qualquer produto entre os pontos de intersecção do plano tangente à essa superfície é uma constante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13-Considere o elipsóide de equação x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 . Encontre as equações dos planos tangentes a esta superfície que são paralelos ao plano x + 4 y + 6 z = 30 .
Nos Exercícios 1-8, encontre equações para a. o plano tangente b. a reta normal no ponto P0 na superfície determinada.
Nos Exercícios 1-8, encontre equações para a. o plano tangente b. a reta normal no ponto P0 na superfície determinada.
Nos Exercícios 1-8, encontre equações para a. o plano tangente b. a reta normal no ponto P0 na superfície determinada.
Nos Exercícios 9-12, encontre uma equação para o plano tangente à superfície determinada no ponto dado.