Enunciado

Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

b) f x = 3 x 2 + 6 x + 1

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f ' x = 6 x + 6

Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 , se liga:

f ' x > 0 ⇒ 6 x + 6 > 0

6 x > - 6

x > - 1

Agora para o segundo caso:

f ' x < 0 ⇒ 6 x + 6 < 0

6 x < - 6

x < - 1

Sendo assim, pelos resultados que obtemos aqui em cima, podemos concluir que:

Intervalos crescentes: ( - 1 ,   + ∞ ) ;

Intervalos decrescentes: ( - ∞ ,   - 1 ) .

Passo 3

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = 3 x 2 + 6 x + 1

f ' x = 6 x + 6

Passo 4

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' x = 6 x + 6 = 0

Esse resultado só é válido para:

6 x + 6 = 0

x = - 1

Sendo assim, x = - 1 é um ponto crítico da nossa função! Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir apenas esse ponto crítico na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

f - 1 = 3 . - 1 2 + 6 . - 1 + 1 = - 2

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: Não existe.

Mínimo da função: - 1 ,   - 2 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Intervalos crescentes: ( - 1 ,   + ∞ ) ;

Intervalos decrescentes: ( - ∞ ,   - 1 ) .

Máximo da função: Não existe.

Mínimo da função: - 1 ,   - 2 .

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Determine os valores mínimo e máximo absolutos de cada função nos intervalos dados. Em seguida, esboce o gráfico da função. Identifique os pontos no gráfico em que os extremos absolutos ocorrem e incl
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