Enunciado

15.8. A figura mostra curvas de nível da função f no quadrado R = 0,1 × 0,1 . Use-as para estimar ∫ ∫ f ( x , y ) d A com precisão nas unidades.

Passo 1

Para estimar essa integral dupla precisamos usar o teorema do ponto médio.

V ≈ ∑ ∑ f x i - ,   y i - ∆ A

A gente tem que repartir a figura em subretângulos. Para começar vamos fazer para um único subretângulo. Esse Subretângulo, teria área igual a 1.

E o único ponto médio é f 1 2 , 1 2 ≈ 11 . A linha do 11 passa mais ou menos ali no meio.

Os limites são, 1 retângulo para x e 1 para y .

Então nossa aproximação fica

V ≈ ∑ i = 1 1 ∑ j = 1 1 f 1 2 , 1 2 ⋅ 1

V ≈ 11 ⋅ 1 = 11

Passo 2

Mas precisamos dar uma precisão maior para o nosso problema, então vamos separar em mais subretângulos, 4 dessa vez

Agora a área dos retângulos é

∆ A = 1 2 ⋅ 1 2 = 1 4

Os limites são, 2 retângulos para x e 2 para y .

E temos

V ≈ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i - , y j - ⋅ 1 4

V ≈ 1 4 f 1 4 , 1 4 + f 1 4 , 3 4 + f 3 4 , 1 4 + f 3 4 , 3 4

V ≈ 1 4 11 + 13 + 9,5 + 11 ≈ 11

O resultado na verdade seria 11,125 mas isso é aproximadamente 11 .

Passo 3

Vamos aumentar mais ainda nossa precisão, separando agora em 16 subretângulos.

Agora a área dos retângulos é

∆ A = 1 4 ⋅ 1 4 = 1 16

Os limites são, 4 retângulos para x e 4 para y .

E temos

V ≈ ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 4 f x i - , y j - ⋅ 1 16

V ≈ 1 4 f 1 8 , 1 8 + f 1 8 , 3 8 + … + f 7 8 , 7 8

V ≈ 1 16 11 + 11,5 + 12,5 + 14 + 10,5 + 11 + 11,5 + 12,5 + 9,5 + 10 + 11 + 11,5 + 9 + 9,5 + 10,5 + 11 ≈ 11

Resposta

V ≈ 11

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f é uma função constante, f x ,y = k , e R = a ,b × c ,d , mostre que ∬ Rk d A = k ( b - a ) ( d - c )
Use o resultado do Exercício 17 para mostrar que 0 ≤ ∬ Rs e nπ x cos ⁡ π x d A ≤ 1 32 onde R = 0 , 1 4 × 1 4 , 1 2 .
Repita o Exercício 15 para a integral ∬ Rs e n x + y d A 15 ) Utilize uma calculadora programável ou computador (ou o comando de soma de um SCA) para estimar ∬ R1 + x e - y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 .
Calcule a integral iterada. ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 x + y 8 d xd y
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 1 2 x e x y d yd x