Enunciado

Use o resultado do Exercício 17 para mostrar que

0 ≤ ∬ R   s e n   π x cos ⁡ π x d A ≤ 1 32

onde R = 0 , 1 4 × 1 4 , 1 2 .

Passo 1

Galera, pros nossos objetivos, vamos manipular um pouco o integrando, para o escrever de outra forma:

s e n   π x cos ⁡ π x = 2   s e n   π x cos ⁡ π x 2 = s e n ( 2 π x ) 2

Então,

∬ R   s e n   π x cos ⁡ π x d A = ∬ R   s e n ( 2 π x ) 2 d A

Passo 2

Mas o conjunto R nos diz que:

0 ≤ x ≤ 1 4

Vamos fazer umas manipulações nessa inequação, galera:

0 ≤ 2 π x ≤ 2 π 1 4

0 ≤ 2 π x ≤ π 2

0 ≤ s e n 2 π x ≤ 1

0 ≤ s e n 2 π x 2 ≤ 1 2

Disto concluímos que:

0 ≤ ∬ R   s e n   π x cos ⁡ π x d A ≤ ∬ R   1 2   d A

Passo 3

Show! Pra terminar, o Exercício 17 diz que, se f é uma função constante, f x ,   y = k , e R = a ,   b × c ,   d , então

∬ R   k d A = k ( b - a ) ( d - c )

No nosso caso, temos R = 0 , 1 4 × 1 4 , 1 2 , então:

∬ R   1 2   d A = 1 2 1 4 - 0 1 2 - 1 4 = 1 2 . 1 4 . 1 4 = 1 32

Logo, podemos escrever:

0 ≤ ∬ R   s e n   π x cos ⁡ π x d A ≤ 1 32

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 s + t d sd t
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y . x 2 + y 2d yd x
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 u - v 5 d ud v
Encontre o volume do sólido delimitado pela superfície z = x sec 2 ⁡ y e pelos planos z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = π 4 .
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R = - 1 ,1 × - 2 ,2 .