Enunciado

16- a) Encontre a excentricidade, b) identifique a cônica, c) dê uma equação da diretriz e d) esboce a cônica.

r = 4 2 + cos ⁡ θ

Passo 1

Fala ai! Vamos lembrar de um teorema importante citado no livro que vai nos ajudar a resolver essa questãozinha.

a) Teorema 6:

Equação polar tem a forma.

r = e d 1 + e   s e n   θ

Lembrando que e é a excentricidade.

Note que o denominador está como 1 + e   s e n   θ então temos que transformar esse denominador de modo que temos a soma de 1 com algum fator trigonométrico.

r = 4 2 + cos ⁡ θ

Dividindo o numerador e o denominador por 2 nós teremos uma equação normalizada de acordo com o teorema 6 . Com isso nós teremos:

r = 4 2 2 2 + 1 2 cos ⁡ θ

r = 1 2 . 4 1 + 1 2 cos ⁡ θ

Temos a excentricidade.

e = 1 2

E como a excentricidade é menor do que 1 , logo a cônica será uma elipse.

Passo 2

b) Vamos lembrar que:

- Se 0 < e < 1 : A elipse é uma elipse de formato alongado, onde 𝑒e representa o quão longe os focos estão do centro em relação ao tamanho da elipse.

- Se e = 0 : A elipse é na verdade um círculo (caso especial de elipse com excentricidade zero).

- Se e = 1 : A elipse é uma parábola (caso especial de elipse onde os focos estão infinitamente distantes).

Sendo assim, como e = 1 2 , ou seja, menor que 1, a equação representa uma elipse.

Passo 3

r = 1 2 . 4 1 + 1 2 s e n   θ

Pelo denominador estar com uma função seno então sabemos que a diretriz é uma reta y e por ser positiva sabemos que ela é um valor de y positivo, logo a equação da reta diretriz vale:

r = 1 2 . 4 1 + 1 2 s e n   θ

y = 4

Passo 4

Os vértices dessa cônica estarão em θ = 0 e θ = π pois são os valores máximos e mínimos de cosseno, o que nos dá os pontos polares:

m i n ⁡ ( r , θ ) = 4 3 , 0

max ⁡ r , θ = ( 4 , π )

Fazendo o ponto médio nós encontraremos o seguinte ponto médio:

c e n t r o = - 4 3 . 0

Passo 5

Colocando em um software os pontos encontrados no Passo 2, obtermos o seguinte gráfico da função:

Parâmetros:

Resposta

a )   e = 1 2

b )   e l i p s e

c )   x = 4

d )   G r á f i c o   d o   p a s s o   3

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