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16. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = g ( t )

Se g ( t ) = t - 2 e t , determine Y ( t ) .

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos começar pegando a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = g ( t )

A equação homogênea correspondente é a seguinte:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0

Pensando nela, a nossa equação característica, terá o seguinte formato:

r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0

r - 1 3 = 0

Dessa forma, temos então que as raízes da homogênea associada são:

r 1 = 1 ,   r 2 = 1 ,   r 3 = 1

Passo 2

Aqui, Temos então que a que as raízes da equação característica são r 1 = 1 , r 2 = 1 e r 3 = 1 . Assim, vemos que e t , cos ⁡ t e sen ⁡ t são as soluções da equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:

y C t = c 1 e t + c 2 t e t + c 3 t 2 e t

Passo 3

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s W s d s

Em que g s é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, W s = W y 1 , y 2 , … , y n s vem do determinante da matriz dos coeficientes

y 1 + y 2 + … + y n

y 1 ' + y 2 ' + … + y n '

y 1 ' ' + y 2 ' ' + … + y n ' '

y 1 n - 1 + … + y n n - 1

e W m s é obtido de   W   substituindo a m-ésima coluna pela coluna   ( 0,0 , … , 0,1 )

Passo 4

Vamos agora calcular W t . Assim temos:

W e t , t e t , t 2 e t = e t t e t t 2 e t e t ' t e t ' t 2 e t ' e t ' ' t e t ' ' t 2 e t ' ' = e t t e t t 2 e t e t t + 1 e t t 2 + 2 t e t e t t + 2 e t t 2 + 4 t + 2 e t

= e 3 t 1 t t 2 1 t + 1 t 2 + 2 t 1 t + 2 t 2 + 4 t + 2

Pare encontrar o determinante, vamos realizar duas operações que não mudam o determinante, mas fica mais simples de calcular. Assim temos:

e 3 t 1 t t 2 1 t + 1 t 2 + 2 t 1 t + 2 t 2 + 4 t + 2 L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1

W t = e 3 t 1 t t 2 0 1 2 t 0 2 4 t + 2 = e 3 t 4 t + 2 - 4 t = 2 e 3 t

Passo 5

Vamos agora calcular W 1 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 1 t = 0 t e t t 2 e t 0 t + 1 e t t 2 + 2 t e t 1 t + 2 e t t 2 + 4 t + 2 e t = t e 2 t t 2 + 2 t - t 2 e 2 t t + 1 = t 2 e 2 t

Passo 6

Vamos agora calcular W 2 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 2 t = e t 0 t 2 e t e t 0 t 2 + 2 t e t e t 1 t 2 + 4 t + 2 e t = t 2 e 2 t - t 2 + 2 t e 2 t = - 2 t e 2 t

Passo 7

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 3 t = e t t e t 0 e t t + 1 e t 0 e t t + 2 e t 1 = e 2 t t + 1 - t e 2 t = e 2 t

Passo 8

Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g s W m s W s d s

Y P t = e t ∫ t 0 t g s t 2 e 2 s 2 e 3 s d s + t e t ∫ t 0 t g s - 2 t e 2 s 2 e 3 s d s + t 2 e t ∫ t 0 t g s e 2 s 2 e 3 s d s

Y P t = e t 2 ∫ t 0 t g s s 2 e - s d s + t e t 2 ∫ t 0 t g s - 2 s e - s d s + t 2 e t 2 ∫ t 0 t g s e - s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t g s s 2 e t - s d s + 1 2 ∫ t 0 t g s - 2 t s e t - s d s + 1 2 ∫ t 0 t g s t 2 e t - s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t s 2 e t - s - 2 t s e t - s + t 2 e t - s g s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s t 2 - 2 t s + s 2 g s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s t - s 2 g s d s

Passo 9

Portanto, uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial é:

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s t - s 2 g s d s

Passo 10

Agora, vamos substituir g ( s ) na expressão acima para encontrar a solução particular. Assim temos:

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s t - s 2 g s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s t - s 2 s - 2 e s d s

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t t - s 2 s 2 d s

Y P t = e t 2 ∫ t 0 t t 2 - 2 t s + s 2 s 2 d s

Y P t = e t 2 ∫ t 0 t t 2 s 2 - 2 t s + 1 d s

Y P t = e t 2 - t 2 s - 2 t ln ⁡ s + s t 0 t

Y P t = e t 2 - t - 2 t ln ⁡ t + t + t 2 t 0 + 2 t ln ⁡ t 0 - t 0

Y P t = e t 2 t 2 t 0 + 2 t ln ⁡ t 0 / t - t 0

Passo 11

Portanto, a solução particular da equação diferencial é:

Y P t = e t 2 t 2 t 0 + 2 t ln ⁡ t 0 / t - t 0

Resposta

Y P t = 1 2 ∫ t 0 t e t - s t - s 2 g s d s

Y P t = e t 2 t 2 t 0 + 2 t ln ⁡ t 0 / t - t 0

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