Enunciado

17. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de seis casas decimais.

3 cos ⁡ x = x + 1

Passo 1

Nossa equação é a seguinte:

3 cos ⁡ x = x + 1

Antes de começar vamos esboçar um gráfico.

Considere a seguinte função:

f x = 3 cos ⁡ x - x - 1

Pois resolver 3 cos ⁡ x = x + 1 é a mesma coisa que resolver   3 cos ⁡ x - x - 1 = 0 .

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Lembra da função que definimos?!

f x = 3 cos ⁡ x - x - 1

Derivando,

f ' x = - 3 s e n x - 1

Portanto,

x n = x n - 1 - 3 cos ⁡ x n - 1 - x n - 1 - 1 - 3 s e n x n - 1 - 1

Olhando o gráfico, podemos ver que é interessante pegar os seguintes pontos:

x 1 = - 4 ,   - 2   e   1

Para a primeira raiz vamos usar x 1 = - 4 :

x 2 = x 1 - 3 cos ⁡ x 1 - x 1 - 1 - 3 s e n x 1 - 1

Fazendo as contas:

x 2 ≈ - 3,682281

Para achar x 3 o processo é análogo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ - 3,638960

Para x 4 :

x 4 ≈ - 3,637959

Para x 5 :

x 5 ≈ - 3,637959

Para x 6 :

x 6 ≈ - 3,637959

Opa, como deu igual já podemos parar.

Passo 3

Para a segunda raiz vamos usar x 1 = - 2 :

x 2 = x 1 - 3 cos ⁡ x 1 - x 1 - 1 - 3 s e n x 1 - 1

Fazendo as contas:

x 2 ≈ - 1,856218

Para acharmos próximos o processo é o mesmo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ - 1,862356

Para x 4 :

x 4 ≈ - 1,8623 65

Para x 5 :

x 5 ≈ - 1,862365

x 4 ≈ x 5 , então podemos parar.

Para a terceira raiz vamos usar x 1 = 1 :

x 2 = x 1 - 3 cos ⁡ x 1 - x 1 - 1 - 3 s e n x 1 - 1

Fazendo as contas:

x 2 ≈ 0,892438

Para acharmos próximos o processo é o mesmo. Logo,

Para x 3 :

x 3 ≈ 0,8 8 9 476

Para x 4 :

x 4 ≈ 0 , 88947 0

Para x 5 :

x 5 ≈ 0 , 889470

x 4 ≈ x 5 , então podemos parar.

Portanto, as raízes com aproximação de seis casas decimais são - 3,637959 ,   - 1,862365 e 0,889470

Resposta

As raízes com aproximação de seis casas decimais são - 3,637959 ,   - 1,862365 e 0,889470

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