Enunciado

35) A circunferência de uma esfera mede 84   c m , com erro possível de 0,5   c m .

(a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área calculada da superfície. Qual o erro relativo?

(b) Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo no volume calculado. Qual o erro relativo?

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😎

Nesse problema temos uma esfera de raio r = 84 c m com um possivel erro de 0 , 5 c m .

A partir daí queremos estimar o erro máximo da area da superfície, o erro relativo e o erro máximo do volume e o erro relativo.

Tem ideia de como fazemos isso?

A area de uma esfera é dada por

A = 4 π r 2

E o erro máximo d C pode ser calculado a partir da relação

d A d r = A '

Já o volume é dado por

V = 4 π r 3 3

E o erro é calculado por

d V d r = V '

Veja só! 😉

Passo 2

Item a:

Se a medida de uma circunferência de raio r é:

C = 2 π r

E sabemos que a área de uma superfície esférica de raio r é dada por:

A = 4 π r 2

Vamos isolar r nas duas equações para relacionar C e A :

r = C 2 π r 2 = A 4 π

C 2 π 2 = A 4 π

A = C 2 π

Agora, vamos obter a relação diferencial derivando A em função de C .

d A = 2 C π d C

Como o erro possível em C é de 0,5   c m então devemos considerar d C = 0,5 :

d A = 2 84 π 0,5

d A = 84 π ≈ 26,74

Logo, o erro máximo é de aproximadamente 26,74   c m .

Já o erro relativo E r e l é dado por:

E r e l = Δ A A ≈ d A A

d A A = 2 C π d C C 2 π

d A A = 2 d C C = 2 0,5 84 ≈ 0,0119047619

Logo, o erro relativo e de aproximadamente 0,012 do valor real.

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Item B:

Se a medida de uma circunferência de raio r é:

C = 2 π r

E sabemos que o volume da esfera de raio r é dado por:

V = 4 π r 3 3

Vamos isolar r nas duas equações para relacionar C e V :

r = C 2 π r 3 = 3 V 4 π

C 2 π 3 = 3 V 4 π

V = C 3 6 π 2

Agora, vamos obter a relação diferencial derivando V em função de C :

d V = 3 C 2 6 π 2 d C

d V = C 2 2 π 2 d C

Como o erro possível em C é de 0,5   c m então devemos considerar d C = 0,5 :

d V = 84 2 2 π 2 ( 0,5 )

d A = 1764 π 2 ≈ 178,7305679

Logo, o erro máximo é de aproximadamente 178,73   c m 3 .

Já o erro relativo E r e l é dado por:

E r e l = Δ V V ≈ d V V

d V V = C 2 2 π 2 d C C 3 6 π 2

d V V = 3 C d C = 3 ( 0,5 ) 84 = 1 56 ≈ 0,017857142861

Logo, o erro relativo e de aproximadamente 0,018 do valor real.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

(a) O erro máximo é de aproximadamente 26,74   c m e o erro relativo e de aproximadamente 0,012 do valor real.

(b) o erro máximo é de aproximadamente 178,73   c m 3 e o erro relativo e de aproximadamente 0,018 do valor real.

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