Enunciado

9. Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = 2

Passo 1

A função dada é a seguinte:

f x = 2

Não esquece:   f x = x n → F x = x n + 1 n + 1 + C   quando   n   ≠ - 1 .   Nesse caso, o n é 0.

Para achar a primitiva, vamos fazer o seguinte:

F x = 2 ⋅ x 0 + 1 0 + 1 + C

Passo 2

Arrumando as coisas, temos:

F x = x 2 + C

Passo 3

Derivando para conferir!

F ' x = 1 ⋅ x 1 - 0 2 + C

Então,

F ' x = 2

F ' x = f ( x )

Resposta

F x = x 2 + C

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g) ∫ (x 2 +s e nx )d x
f) ∫ ( e 2 x + e - 2 x )d x
5- Seja y = f (x), x ϵ R, derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x, f´´(x) + f(x) = 0. Seja g dada por g(x) = f´(x) sen x – f(x) cos x. Prove que g é constante.
6- Seja f: R → R derivável até segunda ordem e tal que para todo x ,f ´ ´ x + f x = 0 . Prove que existe uma constante A tal que f x -Ac o s x s e nx ' =0 Para todo x em ( 0 ,π ) . Conclua que existe
8- Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em R. Suponha que f(0) = 0, g(0) = 1 e que para todo x f´(x) = g(x) e g´(x) = - f(x)a)Mostre que, para todo x, f x –s e nx 2 + g x - cos ⁡ x2 =0 b) C