Enunciado

A função sinal, denotada por sgn, é definida por:

s g n   x = - 1   s e   x < 0 0   s e   x = 0 1   s e   x > 0

  1. Esboce o gráfico dessa função.
  2. Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites a seguir.
  1. lim x → 0 + ⁡ s g n   x
  2. lim x → 0 - ⁡ s g n   x
  3. lim x → 0 ⁡ s g n   x
  4. lim x → 0 ⁡ | s g n   x |

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:

s g n   x = - 1   s e   x < 0 0   s e   x = 0 1   s e   x > 0

Queremos esboçar o gráfico dessa função.

Para isso, temos que observar bem os intervalos de x que são mencionados nela.

Também queremos resolver os seguintes limites:

lim x → 0 + ⁡ s g n   x

lim x → 0 - ⁡ s g n   x

lim x → 0 ⁡ s g n   x

lim x → 0 ⁡ s g n   x  

Para isso, precisamos saber dos limites laterais!!

Mas o que são esses limites??

Basicamente eles descrevem o comportamento de uma função em relação a um ponto específico, considerando abordagens à direita e à esquerda desse ponto.

Dessa forma, o nosso limite só existe se os limites laterais forem iguais!!

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Bom... perceba que nossa função tem 3 comportamentos:

  • Quando x < 0 a função s g n será constante e igual a - 1 ;
  • Quando x = 0 a função s g n será o único ponto s g n = 0 ;
  • Quando x > 0 a fun��ão s g n será constante e igual a 1 .

Assim, o gráfico de s g n x é dado abaixo:

Passo 3

(b)

( i ) Pelo gráfico temos:

lim x → 0 + ⁡ s g n   x = 1

Pois quando caminhamos para zero pelo eixo positivo é esse valor que encontramos.

( i i ) Pelo gráfico temos:

lim x → 0 - ⁡ s g n   x = - 1

Pois quando caminhamos para zero pelo eixo negativo é esse valor que encontramos.

( i i i ) Como os limites laterais são diferentes, temos:

lim x → 0 ⁡ s g n   x não existe

Passo 4

( i v ) Aqui também temos que olhar para o limite de ambos os lados.

Sabemos que o módulo “transforma” o número negativo em positivo.

Dessa forma, temos que:

lim x → 0 + ⁡ s g n   x = 1

lim x → 0 - ⁡ s g n   x = 1

Como os limites são iguais, então:

lim x → 0 ⁡ s g n   x = 1

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

  1. i) 1

ii) - 1

iii) Não existe

iv) 1

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