Calcule.

lim x → p ⁡ x n - p n x - p

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição para facilitar o cálculo:

a = p n e u = x n

E vamos ter que u → a quando x → p , vamos modificar o limite então:

lim x → p ⁡ x n - p n x - p = lim u → a ⁡ u - a u n - a n

Passo 3

No denominador temos um polinômio da seguinte forma u n - a n , então vamos destrinchar isso fatorando:

u n - a n = ( u n - 1 + u n - 2 ∙ a 1 + u n - 3 ∙ a 2 + ∙ ∙ ∙ + u 1 ∙ a n - 2 + a n - 1 ) ( u - a )

Substituindo no limite ficamos com:

lim u → a ⁡ u - a u n - a n = lim u → a ⁡ u - a ( u n - 1 + u n - 2 ∙ a 1 + u n - 3 ∙ a 2 + ∙ ∙ ∙ + u 1 ∙ a n - 2 + a n - 1 ) ( u - a )

Podemos simplificar eliminando a expressão u - a que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

lim u → a ⁡ u - a ( u n - 1 + u n - 2 ∙ a 1 + u n - 3 ∙ a 2 + ∙ ∙ ∙ + u 1 ∙ a n - 2 + a n - 1 ) ( u - a ) = lim u → a ⁡ 1 u n - 1 + u n - 2 ∙ a 1 + u n - 3 ∙ a 2 + ∙ ∙ ∙ + u 1 ∙ a n - 2 + a n - 1

Passo 4

Agora é só substituir o valor a na expressão:

lim u → a ⁡ 1 u n - 1 + u n - 2 ∙ a 1 + u n - 3 ∙ a 2 + ∙ ∙ ∙ + u 1 ∙ a n - 2 + a n - 1 = 1 a n - 1 + a n - 2 ∙ a 1 + a n - 3 ∙ a 2 + ∙ ∙ ∙ + a 1 ∙ a n - 2 + a n - 1 = 1 a n - 1 + a n - 1 + a n - 1 + ∙ ∙ ∙ + a n - 1 + a n - 1 = 1 n ∙ a n - 1

Por último vamos substituir de volta a substituição que fizemos a = p n :

lim x → p ⁡ x n - p n x - p = lim u → a ⁡ 1 u n - 1 + u n - 2 ∙ a 1 + u n - 3 ∙ a 2 + ∙ ∙ ∙ + u 1 ∙ a n - 2 + a n - 1 = 1 n ∙ a n - 1 = 1 n ∙ p n n - 1

Resposta

lim x → p ⁡ x n - p n x - p = 1 n ∙ p n n - 1

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