Enunciado

17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.

21. lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + x x = 1

Passo 1

Então galera, o enunciado pede para que utilizemos da definição formal de limites para provar que o limite que nos foi dado está, de fato, correto. A definição formal, caso não se lembre, nos diz:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Parece complicado toda essa notação, não é mesmo? Prometo que não é tudo isso, bora lá!

Passo 2

Antes de tudo, temos que nosso limite é o seguinte:

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + x x = 1

Utilizando a definição:

2 x + 1 - 1 < ϵ

2 x < ϵ

∴ x < ϵ 2

Mas só se:

0 < x - 0 < δ

0 < x < δ

Disso podemos tirar que δ = ϵ 2 . Como o primeiro módulo é equivalente ao segundo e esse mesmo segundo se verifica com o δ que acabamos de encontrar, então o primeiro módulo também se verifica com esse mesmo δ que acabamos de encontrar. Dessa forma, fica provado que o limite, de fato, está correto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os limites nos Exercícios 23-42. lim x → 1 ⁡ x - 1 x + 3 - 2
Determine os limites nos Exercícios 11-22. lim x → - 7 ⁡ ( 2 x + 5 )
Determine os limites nos Exercícios 23-42. lim x → - 2 ⁡ - 2 x - 4 x 3 + 2 x 2
Determine os limites nos Exercícios 23-42. lim t → - 1 ⁡ t 2 + 3 t + 2 t 2 - t - 2
Se lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 5 , f deve ser definida em x = 1 ? Em caso afirmativo, deve ser f 1 = 5 ? Podemos concluir algo sobre os valores de f em x = 1 ? Explique.