Enunciado

53. a) Explique por que podemos calcular lim x → + ∞ ⁡ e x ² fazendo a substituição t = x ² e escrevendo:

lim x → + ∞ ⁡ e x ² = lim x → + ∞ ⁡ e t = + ∞

b) Suponha que g x → + ∞ com x → + ∞ . Dada qualquer função f ( x ) , explique por que podemos calcular lim x → + ∞ ⁡ f g x fazendo a substituição t = g x e escrevendo:

lim x → + ∞ ⁡ f g x = lim t → + ∞ ⁡ f t

(Aqui, a igualdade significa que ou ambos os limites existem e são iguais ou nenhum dos dois limites existe.)

c) Por que o resultado da parte b) permanece válido se todos os lim x → + ∞ ⁡ forem substituídos por um dos seguintes lim x → - ∞ ⁡ ,   lim x → c ⁡ ,   lim x → c + ⁡   o u   lim x → c - ⁡ ?

Passo 1

a) A substituição indicada pelo enunciado é apenas um processo de simplificação para nossos cálculos, galera! Em outras palavras temos que e x 2 = e t . Utilizando a substituição t = x ² , temos que o limite escrito em termos de t será o seguinte:

t = x ²

Como o limite em x está tendendo para + ∞ , temos:

t = + ∞ 2 = + ∞

Sendo assim, nosso limite será:

lim x → + ∞ ⁡ e x ² = lim t → + ∞ ⁡ e t

Aplicando o limite:

lim t → + ∞ ⁡ e t = e + ∞ = + ∞

Que é exatamente o resultado dado pelo enunciado, como queríamos provar!

Passo 2

b) Então pessoal, se f t → + ∞ então f t pode ser arbitrariamente grande (quanto quisermos). No entanto, considerando os valores de g x no qual g x > t , podemos ver que f g x também tem o limite tendendo a + ∞ . Se f t tem o limite L quando t → + ∞ , os valores de f t podem ser arbitrariamente próximos de L , tomando t grande o suficiente! Sendo assim, se x é grande o suficiente, então g x > t e f g x também são próximos de L . É por isso que podemos realizar essa operação!

Passo 3

c) Para o limite quando x → - ∞ o mesmo raciocínio da letra b) é aplicado na substituição, isto é, “x diminui sem limite” em vez de “x aumenta sem limite”. Para os outros limites basta mudarmos a condição para x próximo o suficiente de c que o raciocínio continua o mesmo também!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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