Enunciado

17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.

24. lim x → 2 ⁡ f x = 5 , onde f x = 9 - 2 x ,     x ≠ 2 49 ,     x = 2

Passo 1

Então galera, o enunciado pede para que utilizemos da definição formal de limites para provar que o limite que nos foi dado está, de fato, correto. A definição formal, caso não se lembre, nos diz:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Parece complicado toda essa notação, não é mesmo? Prometo que não é tudo isso, bora lá!

Passo 2

Antes de tudo, temos que nosso limite é o seguinte:

lim x → 2 ⁡ f x = 5

Como x ≠ 2 , vamos utilizar f x = 9 - 2 x , beleza? Sendo assim, utilizando a definição temos:

9 - 2 x - 5 < ϵ

4 - 2 x < ϵ

2 2 - x < ϵ ⇒ x - 2 < ϵ 2

Mas só se:

0 < x - 2 < δ

Disso podemos tirar que δ = ϵ 2 . Como o primeiro módulo é equivalente ao segundo e esse mesmo segundo se verifica com o δ que acabamos de encontrar, então o primeiro módulo também se verifica com esse mesmo δ que acabamos de encontrar. Dessa forma, fica provado que o limite, de fato, está correto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dada a função f x = x 2 - 3 x + 2 x - 1 , verifique que lim x → 1 ⁺ ⁡ f x = lim x → 1 ⁻ ⁡ f x ⁺ ⁻ . Pergunta-se: f é contínua em 1 ? Por quê?
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
Sejam f uma função definida num intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha que f x ≤ f p para todo x ∈ I . Prove que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = 0 desde que o limite exista.Sugestão: estude os sinais de l
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 0 ⁡ x
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. lim x → 2 ⁡ g x - g 2 x - 2o n d eg x = x s e x ≥ 2 x 2 2 s e x2