A afirmação

lim x → p + ⁡ f x = lim x → p - ⁡ f x ⟹ f contínua em p

é falsa ou verdadeira? Justifique.

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira:

lim x → p + ⁡ f x = lim x → p - ⁡ f x ⟹ f contínua em p

Vamos colocar os miolos pra pensar!

Aqui, teremos que ter em mente o que significa uma função ser contínua em um ponto p !

Nesse próximo passo eu te explico bem melhor! Bora lá! 😉

Passo 2

Pra uma função ser contínua em um ponto p , ela precisa passar em três testes:

1) O limite lim x → p ⁡ f x existe.

Ou seja, isso significaria que os limites laterais são iguais.

2) O valor da função f p existe:

Em outras palavras, a função tem que estar definida nesse ponto p .

3) O valor da função no ponto é igual ao limite, ou seja:

lim x → p ⁡ f x = f p

Esse é o requisito final pra garantir a continuidade!

Agora vamos verificar cada um deles!!

Passo 3

Bom... Agora olha só o que a questão deu: só disse que os limites laterais são iguais. Isso garante só o item 1! E os outros dois? Ninguém sabe, ninguém viu!

Quer ver um contra exemplo??

Vamos pegar uma função que engana direitinho:

f x = x ,   s e   x ≠ 0 1 ,   s e   x = 0

Vamos ver o que acontece quando x = 0 .

Vamos analisar o limite lateral da direita:

lim x → 0 + ⁡ f x = 0

Agora, o da esquerda:

lim x → 0 - ⁡ f x = 0

Então, podemos confirmar que ela é derivável nesse ponto, e que:

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Maaas, note que se x = 0 , então:

f 0 = 1 ≠ 0

Ou seja: os limites laterais são iguais, mas a função não é contínua! Pegadinha do malandro!

Resposta

A afirmação é falsa!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados