17-40 Encontre os limites.

28. lim x → 0 ⁡ s e n 6 x s e n 8 x

Passo 1

Nossaaaaa.... A gente vendo isso desse jeito até se assusta. Mas vem comigo que vai dar certo.

Vamos começar dividindo o numerador e o denominador por 6 x . (Repare que nós não vamos alterar o valor da fração original).

lim x → 0 ⁡ s e n 6 x s e n 8 x = lim x → 0 ⁡ s e n 6 x 6 x s e n 8 x 6 x

Passo 2

Agora, vamos usar aquela propriedade que diz que o limite do quociente é o quociente dos limites.

lim x → 0 ⁡ s e n 6 x 6 x s e n 8 x 6 x = lim sen 6 x 6 x x → 0 lim x → 0 sen 8 x 6 x ⁡  

Na parte de cima nós já sabemos calcular por aquele teorema. Então,

lim sen 6 x 6 x x → 0 lim x → 0 sen 8 x 6 x ⁡   = 1 l i m x → 0 s e n 8 x 6 x

Passo 3

Nós podemos dividir o numerador e o denominador daquele limite por 8 x . Assim, obtemos

1 l i m x → 0 s e n 8 x 6 x = 1 l i m x → 0 s e n 8 x 8 x 6 x 8 x

Aplicando novamente a propriedade usada no passo anterior,

1 l i m x → 0 s e n 8 x 8 x 6 x 8 x = 1 lim x → 0 ⁡ s e n 8 x 8 x lim x → 0 ⁡ 6 x 8 x

Passo 4

Agora ficou muuuuuito fácil.É só calcular aqueles dois limites ali debaixo.

lim x → 0 ⁡ s e n 8 x 8 x = 1

lim x → 0 ⁡ 6 x 8 x = 6 8

Assim,

1 lim x → 0 ⁡ s e n 8 x 8 x lim x → 0 ⁡ 6 x 8 x = 1 1 6 / 8 = 6 8

Resposta

6 8

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