Investigue a continuidade nos pontos indicados:

f(x) = x - |x| em x = 0

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;
  2. lim x → a ⁡ f x existe;
  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Vamos então ver se as três condições são aceitas.

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = 0 :

f 0 = 0 - 0 = 0

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora ver se o lim x → 0 ⁡ x - x existe, para isso valor calcular esse limite pela direita e pela esquerda, se eles forem iguais, o limite existe e possui esse valor:

lim x → 0 ⁺ ⁡ f x = lim x → 0 ⁺ ⁡ x - x   = lim x → 0 ⁺ ⁡ 0 = 0

lim x → 0 ⁻ ⁡ f x = lim x → 0 ⁻ ⁡ x - x = lim x → 0 ⁻ ⁡ x + x = lim x → 0 ⁻ ⁡ 2 x = 0

Assim:

lim x → 0 ⁡ x - x = 0

Então pronto, ele existe, passa pela segunda condição.

Passo 4

Vamos agora ver a terceira condição:

lim x → 0 ⁡ x - x = 0 = f 0 = 0

Pronto, passou também pela terceira condição, então f x é contínua em x = 0 .

Resposta

f x é contínua em x = 0

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