Enunciado

8. Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela parábola y 2 = x , pelo eixo x e pela reta x = 4 em torno da reta x = 4 . Tome os elementos de área paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Vamos entender o sólido na região delimitada e depois calcular seu volume.

Passo 2

A região é limitada por y 2 = x , o eixo x e x = 4 . Como os elementos são horizontais, vamos considerar y indo de 0 até 2. O elemento de volume será uma concha cilíndrica com raio médio m i e altura 4 - m i 2 (porque gira em torno de x = 4 ).

Passo 3

Aplicando na fórmula para o volume:

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n A w i   ∆ i y = ∫ a b A ( y ) d y

(área da concha = 2 π r a i o . a l t u r a )

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 2 π m i (   4 - m i 2 )   ∆ i y = 2 π ∫ 0 2 y (   4 - y 2 ) d y

Passo 4

Resolvendo a integral...

2 π ∫ 0 2 (   4 y - y 3 ) d y = 2 π 2 y 2 - y 4 4 0 2 = 2 π . 4 = 8 π

Pronto, esse é o volume

Resposta

V = 8 π

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A região delimitada pelas curvas y = e - 1 x , y = 0 , x = 1 e x = 5 é girada em torno do eixo x . Use a Regra de Simpson com n = 8 para estimar o volume do sólido resultante.
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y = 1 x 2 + 3 x + 2 de x = 0 até x = 1 for girada em torno do:a) eixo x ;