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19. y 5 - 3 y 4 + 3 y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 0

Passo 1

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y 5 - 3 y 4 + 3 y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 0   →

r 5 - 3 r 4 + 3 r 3 - 3 r 2 + 2 r = 0   →

r r 4 - 3 r 3 + 3 r 2 - 3 r + 2 = 0   →

Dessa equação, já podemos tirar a primeira raiz:

r 1 = 0

Já desse termo dos parênteses podemos tirar as demais:

r 4 - 3 r 3 + 3 r 2 - 3 r + 2 = 0

Observe que 1 é raiz dessa equação:

1 4 - 3 1 3 + 3 1 2 - 3 + 2 = 0   →

0 = 0

Então podemos fatorar usando Briot Rufini:

Onde os coeficientes em vermelho são os coeficientes da equação de grau 4 que queremos reduzir e 1 é o sua raiz. Então, aplicando o método...

Então os coeficientes em azul são os coeficientes da equação reduzida:

r 3 - 2 r 2 + r - 2 = 0

Então...

r 4 - 3 r 3 + 3 r 2 - 3 r + 2 = 0     →

r - 1 r 3 - 2 r 2 + r - 2 = 0

A segunda raiz que tiramos daí é...

r 2 = 1

E para as demais:

r 3 - 2 r 2 + r - 2 = 0

Podemos colocar em evidência...

r 2 r - 2 + r - 2 = 0   →

r - 2 r 2 + 1 = 0

De onde tiramos a terceira raiz...

r 3 = 2

E as demais...

r 2 + 1 = 0   →

r = ± i

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r 1 = 0 como ele é real...
  • y 1 = e r 1 t = 1

  • Para r 2 = 1 ...
  • y 2 = e r 2 t = e t

  • Para r 3 = 2 como ele é real...
  • y 3 = e r 3 t = e 2 t

  • Para r 4 = i como ele é imaginário a + b i ...
  • y 4 = e a t sin ⁡ b t = e 0 sin ⁡ 1 t

  • Para r 5 = - i como ele é imaginário a - b i ...

y 5 = e a t cos ⁡ b t = e 0 cos ⁡ 1 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4 + c 5 y 5 + c 6 y 6

y = c 1 + c 2 e t + c 3 e 2 t + c 4 sin ⁡ t + c 5 cos ⁡ t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 + c 2 e t + c 3 e 2 t + c 4 sin ⁡ t + c 5 cos ⁡ t

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