Enunciado

19 - Centroide de um triângulo situa-se na interseção das medianas do triângulo Você deve recordar que o ponto dentro de um triângulo que se situe a um terço do caminho de cada lado em direção ao vértice oposto é o ponto onde as três medianas do triângulo se cruzam. Demonstre que o centroide está situado na interseção das medianas, mostrando que ele também está situado a um terço de distância de cada lado em direção ao vértice oposto. Para isso, siga os seguintes passos.

i) Coloque um lado do triângulo no eixo x como no item (b) da figura a seguir. Expresse dm em termos de L e dy.

ii) Use triângulos semelhantes para mostrar que L = (b/h) (h - y). Substitua essa expressão por L em sua fórmula para dm.

iii) Mostre que y = h/3.

iv) Faça o mesmo com os outros lados.

Passo 1

A massa horizontal da figura será δ   d A = δ L   d y , tendo que L é o comprimento do trângulo a uma distância de y acima da base localizada no eixo x. Desta forma utilizando triângulos semelhantes teremos que:

L b = h - y h

Desta forma:

L = b h ( h - y )

Passo 2

Achar M x

Assim:

M x = ∫ y ~   d m =   ∫ 0 h δ y L   d y =   ∫ 0 h δ y b h h - y   d y

δ b h ∫ 0 h y h - y d y = δ b h ∫ 0 h h y - y 2   d y

Resolvendo a integral teremos que M x .

M x = δ b h ∫ 0 h h y - y 2   d y = δ b h h y 2 2 - y 3 3 0 h

Substituindo teremos:

M x = δ b h h ⋅ h 2 2 - h 3 3 - h ⋅ 0 2 2 - 0 3 3

M x = δ b h h 3 2 - h 3 3 - 0

Logo:

M x = δ b h 3 h 3 - 2 h 3 6

M x = δ b h h 3 6 = δ b h 3 6 h = δ b h 2 6

Passo 3

Achar M .

M =   ∫ d m = ∫ 0 h δ b h h - y d y = δ b h ∫ 0 h h - y   d y

Resolvendo a integral teremos:

M = δ b h h y - y 2 2 0 h

Logo:

M = δ b h h ⋅ h - h 2 2 - h ⋅ 0 - 0 2 2

M = δ b h h 2 - h 2 2 - 0 = δ b h h 2 2

M = δ b h 2 2 h

M = δ b h 2

Passo 4

Sendo assim:

y - = M x M = δ b h 2 6 δ b h 2

y - = δ b h 2 6 ⋅ 2 δ b h

y - = 2 δ b h 2 6 δ b h = 1 δ b h 2 3 δ b h

y - = h 3

Assim fica demonstrado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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