Enunciado

Calcule as integrais usando o Teorema Fundamental do Cálculo e (se for necessário) propriedades da integral definida.

∫ 0 2 2 x - 3 d x

Passo 1

A primeira coisa que faremos é analisar quando a função dentro do módulo será nula:

2 x - 3 = 0

2 x = 3

x = 3 2

O intervalo fornecido pelo exercício é de 0 até 2 , onde 0 ≤ x ≤ 2 . Mas, no meio desse intervalo a função é nula, isso significa que vamos dividir em dois intervalos importantes, um extremo esquerdo onde teremos valores estritamente negativos dentro do módulo e outro a direita, onde os valores são positivos. O primeiro intervalo será:

0 ≤ x ≤ 3 2

E também :

3 2 ≤ x ≤ 2

Agora, podemos resovelr a integral:

∫ 0 2 2 x - 1 d x = ∫ 0 3 / 2 - ( 2 x - 3 ) d x + ∫ 3 / 2 2 ( 2 x - 3 ) d x

Assim, conseguimos resolver a integral!

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral negativa, onde:

∫ 0 3 2 - 2 x - 3 d x = ∫ 0 3 / 2 - 2 x + 3   d x

Lembrando que a integral da subtração ou soma, é a subtração ou soma das integrais:

∫ 0 3 2 - 2 x + 3   d x = ∫ 0 3 2 - 2 x   d x + ∫ 0 3 2 3   d x

∫ 0 3 / 2 - 2 x + 3   d x = [ - x 2 + 3 x ] 0 3 / 2 = 9 2 - 9 4  

Então, temos a primeira integral.

Passo 3

Agora, resolveremos a integral positiva, onde:

∫ 3 2 2 2 x - 3 d x = ∫ 3 2 2 2 x - 3   d x

Lembrando que a integral da subtração ou soma, é a subtração ou soma das integrais:

∫ 3 2 2 2 x - 3   d x = ∫ 3 2 2 2 x   d x - ∫ 3 2 2 3   d x

∫ 3 2 2 2 x - 3   d x = [ x 2 ] 3 / 2   1 - 3 x 3 2 1 = ( 4 - 6 ) - 9 4 - 9 2

Feito isso, vamos pra parte final do exercício.

Passo 4

Retornando ao nosso foco principal que é resolver a integral:

∫ 0 2 2 x - 3 d x = ∫ 0 3 / 2 - ( 2 x - 3 ) d x + ∫ 3 / 2 2 ( 2 x - 3 ) d x

Agora, com os termos calculados separamente, temos:

∫ 0 2 2 x - 3 d x = 9 4 + 9 4 - 2 = 5 2  

∫ 0 2 2 x - 3 d x = 5 2

Resposta

∫ 0 2 2 x - 3 d x = 5 2

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