Enunciado

19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique o por quê.

20. a n = 2 + - 1 n n

Passo 1

Fala Aí! Tudo certinho? Vamos lá! Essa questão nos pede 3 coisas:

  1. Calcular os 10 primeiros termos da sequência.
  2. Traçar o gráfico da sequência.
  3. Verificar se a sequência tem um limite.

Vamos então atacar cada um desses 3 pontos!

Passo 2

Primeiramente devemos descobrir quando vale os 10 primeiros termos da sequência. Para descobrirmos isso, basta substituirmos n por 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   8 ,   9 ,   10 . Isso é bem tranquilo de fazer, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

Para n = 1 :

a 1 = 2 + - 1 1 1 = 1,0000

Para n = 2 :

a 2 = 2 + - 1 2 2 = 2,5000

Para n = 3 :

a 3 = 2 + - 1 3 3 = 1,6667

Para n = 4 :

a 4 = 2 + - 1 4 4 = 2,2500

Para n = 5 :

a 5 = 2 + - 1 5 5 = 1,8000

Para n = 6 :

a 6 = 2 + - 1 6 6 = 2,1667

Para n = 7 :

a 7 = 2 + - 1 7 7 = 1,8571

Para n = 8 :

a 8 = 2 + - 1 8 8 = 2,1250

Para n = 9 :

a 9 = 2 + - 1 9 9 = 1,8889

Para n = 10 :

a 10 = 2 + - 1 n n = 2,1000

Show?!

Passo 3

Agora que descobrimos os 10 primeiros termos da sequência, vamos colocar esses pontos em um gráfico. Se fizermos isso, teremos:

Passo 4

O último ponto pedido é para verificarmos se a sequência tem um limite.

Se observarmos o gráfico com atenção, notaremos que a sequência aparenta se aproximar de 2 , não é mesmo? Então sim, a sequência aparenta ter um limite! Sendo assim, devemos calcular o limite dessa sequência para comprovarmos a observação!

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 2 + - 1 n n

Como a expressão é uma soma, podemos separar os limites, utilizando a propriedade da soma dos limites:

l i m n → ∞ 2 + l i m n → ∞ - 1 n n

Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante. Então, o limite de 2 é 2 . Mas quanto ao segundo limite, qual é seu resultado? Vamos analisar com mais calma:

  • Quando olhamos para - 1 n n , o denominador n   está crescendo à medida que avançamos na sequência. Isso significa que o termo geral está sendo dividido por números cada vez maiores. Concorda?
  • Por outro lado, o numerador   - 1 n alterna entre 1 e - 1   conforme n aumenta.

Por exemplo, quando n é 1 , a fração é

- 1 1 1 =   - 1  

Para n = 2 :

- 1 2 2 = 1 2  

e assim por diante. Conforme n   cresce, a magnitude do numerador não aumenta, mas o denominador sim, e isso faz com que a fração como um todo se aproxime de 0 .

Assim, embora o numerador esteja oscilando, o denominador está crescendo mais rapidamente, e isso leva a - 1 n n a convergir para 0 à medida que n   tende ao infinito.

Ou seja,

l i m n → ∞ - 1 n n = 0

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ 2 + - 1 n n = 2 + 0

∴ lim n → ∞ ⁡ 2 + - 1 n n = 2

Portanto, o limite da sequência a n = 2 + - 1 n n quando n   tende ao infinito é 2 . Isso significa que a sequência tem uma assíntota horizontal em y = 2 .

Resposta

Os 10 primeiros termos da sequência são: a 1 = 1,0000 , a 2 = 2,5000 , a 3 = 1,6667 , a 4 = 2,2500 , a 5 = 1,8000 , a 6 = 2,1667 , a 7 = 1,8571 , a 8 = 2,1250 , a 9 = 1,8889 , a 10 = 2,1000 .

O gráfico da função é

O limite da sequência a n = 2 + - 1 n n quando n   tende ao infinito é 2 . Isso significa que a sequência tem uma assíntota horizontal em y = 2 .

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Calcule.underset(n - + oo)(lim) [(2)/(n) + ((3)/(5))^n]
Calcule.underset(n - + oo)(lim) [((- 1)^n)/(n) + 2]
Calcule.underset(n - + oo)(lim) (1 + 5^n)/(2 + 3^n)
Supondo que 0a1 , mostre queunderset(n - + oo)(lim) sum_(k = 1)^n a^k = (a)/(1 - a)
Calcule lim n → + ∞ ⁡ 1 n 3 ∑ k = 1 n k 2 (Sugestão: Verifique que 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 = 1 6 n n + 1 2 n + 1 . Veja Seção 17.)