Enunciado

19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique o por quê.

21. a n = 1 + - 1 2 n

Passo 1

Hey, Pessoal! Essa questão nos pede 3 coisas:

  1. Calcular os 10 primeiros termos da sequência.
  2. Traçar o gráfico da sequência.
  3. Verificar se a sequência tem um limite.

Bora lá então!

Passo 2

Então pessoal, inicialmente devemos descobrir quando vale os 10 primeiros termos da sequência. Para descobrirmos isso, basta substituirmos n por 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   8 ,   9 ,   10 . Isso é bem tranquilo de fazer, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

Para n = 1 :

a 1 = 1 + - 1 2 1 = 0,5000

Para n = 2 :

a 2 = 1 + - 1 2 2 = 1,2500

Para n = 3 :

a 3 = 1 + - 1 2 3 = 0,8750

Para n = 4 :

a 4 = 1 + - 1 2 4 = 1,0625

Para n = 5 :

a 5 = 1 + - 1 2 5 = 0,9688

Para n = 6 :

a 6 = 1 + - 1 2 6 = 1,0156

Para n = 7 :

a 7 = 1 + - 1 2 7 = 0,9922

Para n = 8 :

a 8 = 1 + - 1 2 8 = 1,0039

Para n = 9 :

a 9 = 1 + - 1 2 9 = 0,9980

Para n = 10 :

a 10 = 1 + - 1 2 10 = 1,0010

Passo 3

Agora que descobrimos os 10 primeiros termos da sequência, vamos colocar esses pontos em um gráfico. Se fizermos isso, teremos:

Passo 4

O último ponto pedido é para verificarmos se a sequência tem um limite.

Se observarmos o gráfico com atenção, notaremos que a sequência aparenta se aproximar de 1 , não é mesmo? Então sim, a sequência aparenta ter um limite!

Sendo assim, devemos calcular o limite dessa sequência para comprovarmos a observação!

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 + - 1 2 n

Como a expressão é uma soma, podemos separar os limites, utilizando a propriedade da soma dos limites:

l i m n → ∞ 1 + l i m n → ∞ - 1 2 n

Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante. Então, o limite de 1 é 1

Mas quanto ao segundo limite, qual é seu resultado?

Quando temos uma expressão como - 1 2 n , onde n   está indo para o infinito, é útil observar o comportamento da sequência para diferentes valores de n   e entender como ela se aproxima de um valor final. Bora fazer isso então?

Quando n   é um número par, - 1 2 n é positivo, pois um número negativo elevado a uma potência par resulta em um número positivo, concorda? Por exemplo:

Para n = 2 :

- 1 2 n = - 1 2 2 = 1 4

Para n = 4 :

- 1 2 n = - 1 2 4 = 1 16

Por outro lado, quando n   é ímpar, - 1 2 n é negativo, pois um número negativo elevado a uma potência ímpar resulta em um número negativo. Por exemplo:

Para n = 1 :

- 1 2 n = - 1 2 1 = - 1 2

Para n = 3 :

- 1 2 n = - 1 2 3 = - 1 8

Agora, conforme n aumenta para o infinito, podemos ver que a sequência - 1 2 n oscila entre valores positivos e negativos. No entanto, à medida que n   cresce, a magnitude dos valores diminui, aproximando-se de 0 .

Portanto,

l i m n → ∞ - 1 2 n = 0

Sendo assim, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 1 + - 1 2 n = 1 + 0

∴ lim n → ∞ ⁡ 1 + - 1 2 n = 1

Sendo assim, fica provado que, de fato, a sequência apresenta uma assíntota em 1 .

Resposta

Os 10 primeiros termos da sequência são: a 1 = 0 , a 2 = 1,2500 ,   a 3 = 0,8750 ,   a 4 = 1,0625 , a 5 = 0,9688 , a 6 = 1,0156 , a 7 = 0,9922 , a 8 = 1,0039 , a 9 = 0,9980 , a 10 = 1,0010 .

O gráfico da função é

O limite da sequência a n = 1 + - 1 2 n quando n   tende ao infinito é 1. Isso significa que a sequência tem uma assíntota horizontal em y = 1 .

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Seja f x = x 2 , x ∈ 0,1 . Considere as sequências s n = f 0 1 n + f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n E S n = f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n. Calculea) lim n → +
Sabe-se que a sequência a 1 = 2 ,a 2 = 2 2 , a 3 = 2 2 2 , ..., é convergente. Calcule lim n → + ∞ ⁡ a n .
Prove que underset(x - 0)(lim) sen (1)/(x) não existe.
Seja f x = xs ex ∈ Q - xs ex ∉ Q a) Calcule lim x → 0 ⁡ f x .b) Mostre que, para todo p ≠ 0 , lim x → p ⁡ f x não existe.
Sabe-se que a sequência 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , é convergente. Calcule seu limite.