Enunciado

19-22. Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique o por quê.

22. a n = 1 + 10 n 9 n

Passo 1

Faaaaala, galera! Assim como as anteriores, essa questão nos pede 3 coisas:

  1. Calcular os 10 primeiros termos da sequência.
  2. Traçar o gráfico da sequência.
  3. Verificar se a sequência tem um limite.

Vamos lá?!

Passo 2

Primeiramente devemos descobrir quando vale os 10 primeiros termos da sequência. Para descobrirmos isso, basta substituirmos n por 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   8 ,   9 ,   10 . Isso é bem tranquilo de fazer, não é mesmo? Sendo assim, teremos:

Para n = 1 :

a 1 = 1 + 10 9 1 = 2,1111

Para n = 2 :

a 2 = 1 + 10 9 2 = 2,2346

Para n = 3 :

a 3 = 1 + 10 9 3 = 2,3717

Para n = 4 :

a 4 = 1 + 10 9 4 = 2,5242

Para n = 5 :

a 5 = 1 + 10 9 5 = 2,6935

Para n = 6 :

a 6 = 1 + 10 9 6 = 2,8817

Para n = 7 :

a 7 = 1 + 10 9 7 = 3,0908

Para n = 8 :

a 8 = 1 + 10 9 8 = 3,3231

Para n = 9 :

a 9 = 1 + 10 9 9 = 3,5812

Para n = 10 :

a 10 = 1 + 10 9 10 = 3,8680

Passo 3

Agora que descobrimos os 10 primeiros termos da sequência, vamos colocar esses pontos em um gráfico. Se fizermos isso, teremos:

Passo 4

Se observarmos o gráfico com cuidado, notaremos que a sequência não aparenta se aproximar de nenhum valor. Então não, a sequência não aparenta ter um limite! Po, mas como faço para saber que isso é verdade? Se aplicarmos o limite nessa sequência, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 10 n 9 n

Como a expressão é uma soma, podemos separar os limites, utilizando a propriedade da soma dos limites:

lim n → ∞ ⁡ 1 + l i m n → ∞ 10 n 9 n

Sabemos que o limite de uma constante é a própria constante. Então, o limite de 1 é 1

Mas quanto ao segundo limite, qual é seu resultado? Tem um teorema dessa seção (teorema 9 da seção 11.1) que diz o seguinte:

A sequência r n   converge se - 1 < r ≤ 1 e diverge para todos os outros valores de r .

l i m n → ∞ r n = 0   s e - 1 < r < 1 1   s e   r = 1

Assim, como 10 9 > 1 , então essa sequência diverge! Se fosse menor do que 1, essa sequência convergeria, mas não é o caso. Essa é a prova de que não há um limite para a sequência. Show de bola?!

Resposta

Os 10 primeiros termos da sequência são: a 1 = 2,1111 , a 2 = 2,2346 , a 3 = 2,3717 , a 4 = 2,5242 , a 5 = 2,6935 , a 6 = 2,8817 , a 7 = 3,0908 , a 8 = 3,3231 , a 9 = 3,5812 , a 10 = 3,8680

O gráfico da função é

O limite da sequência a n = 1 + 10 n 9 n diverge.

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Calcule.underset(n - + oo)(lim) sum_(k = 0)^n ((1)/(3))^k
Suponha que a sequência de um termo geral a n , n natural, seja crescente (isto é, quaisquer que sejam os naturais n e m , nm ⟹ a n ≤ a m ) e que exista M real tal que a n ≤ M para todo natural n . Pr
Calcule.underset(n - + oo)(lim) (n^2 + 2)/(2 n^3 + n - 1)
Considere a sequência de termo geral a n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 . a) Prove que a n é crescente.b) Prove que para todo natural n ≥ 1 ] 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 22 . c) Prove que lim n → + ∞
Calcule.underset(n - + oo)(lim) (n^2 + 3)