Enunciado

Considere a sequência de termo geral

a n = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 .

a) Prove que a n é crescente.

b) Prove que para todo natural n ≥ 1 ]

1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 < 2 .

c) Prove que lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 existe e que é menor que 2 . Compare com o Exercício 3.)

(Sugestão para (b): Verifique que 1 2 n 2 + 1 2 n + 1 2 + … + 1 2 n + 1 - 1 2 ≤ 1 2 n .)

Passo 1

a) Se para todo m natural maior que n teremos uma soma com m parcelas que será maior que a soma das n primeiras parcelas.

Assim, quaisquer que sejam os naturais n e m , n < m ⟹ a n ≤ a m . Logo, a n é crescente.

Passo 2

b) Temos que

1 ≤ 1 2 0

1 2 2 + 1 3 2 ≤ 1 2 2 + 1 2 2 = 1 2

1 4 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 7 2 ≤ 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 = 1 4

Por consequência:

1 2 n 2 + 1 2 n + 1 2 + … + 1 2 n + 1 - 1 2 ≤ 1 2 n

E assim por diante...

Se a soma de todas as segundas partes das inequações é uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão 1 2 , temos:

1 + 1 2 + 1 4 + … + 1 2 n = 1 1 - 1 2 = 2

Assim, somando todas as inequações:

1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 < 2

Logo, provamos que para todo natural n ≥ 1 ] temos 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 < 2 .

Passo 3

c) Se temos uma função crescente e limitada superiormente por M = 2 , para todo n natural.

Então, o conjunto a n n ∈ N é não-vazio e limitado superiormente, e portanto admite um supremo, que vamos chamar de L . Dado, ϵ > 0 , existe a n 1 ∈ a n n ∈ N tal que

L - ϵ < a n 1 < L

Daí, para todo n em n 1 , + ∞ temos:

L - ϵ < a n < L < L + ϵ

Então:

L - ϵ < a n < L + ϵ

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ a n = L

Como L é o supremo no intervalo a n n ∈ N temos que lim n → + ∞ ⁡ a n = sup ⁡ a n | n ∈ N .

Como L < M , e M = 2 :

lim n → + ∞ ⁡ a n < M

Logo, provamos que

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … + 1 n 2 < 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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