Enunciado

19-24. Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.

22. y 2 - 16 x 2 = 16

Passo 1

Antes de identificarmos de que tipo essa equação se trata, vamos simplifica-la, ok? Dividindo tudo por 16 , teremos:

y 2 16 - x 2 1 = 1

De acordo com a seção 10.5, desde que a hipérbole não esteja deslocada, são equações de hipérbole:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1   e   y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

Dessas duas equações a que se assemelha com a equação que nos foi dada pelo enunciado é o segundo tipo. Para esse segundo tipo a equação da hipérbole apresenta focos em:

( 0 , ± c )

Vértices em:

( 0 , ± a )

E, por fim, assíntotas em:

y = ± a b x

Da equação que nos foi dada, temos:

y 2 16 - x 2 1 = 1 ⇒ y 2 4 2 - x 2 1 2 = 1

Então disso podemos tirar que: a = 4 e b = 1 , tranquilão?!

Passo 2

Beleza, agora já identificamos quem é a e b , mas falta identificar quem é c , não é mesmo? Para uma hipérbole podemos determinar c utilizando a seguinte relação:

c 2 = a 2 + b ²

Substituindo os valores de a e b , teremos:

c 2 = 4 2 + 1 ²

c 2 = 17 ∴ c = ± 17

Prontinho, agora nosso problema já está praticamente resolvido! Determinamos a , b e c , então é só substituir nas relações comentadas no passo anterior, saca só:

f o c o s : 0 , 17   e   0 , - 17

v é r t i c e s : 0 , 4   e   0 , - 4

a s s í n t o t a s : y = 4 x   e   y = - 4 x

Por fim, esboçando o gráfico, teremos:

Resposta

f o c o s : 0 , 17   e   0 , - 17

v é r t i c e s : 0,4   e   0 , - 4

a s s í n t o t a s : y = 4 x   e   y = - 4 x

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