Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = x 2 / 3 ,                     a = 1 ,                     n = 3 ,                     0 , 8 ≤ x ≤ 1 , 2

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 3 precisaremos até a terceira derivada, então derivando e substituindo no centro x = 1

    f = x 2 / 3 ⇒ f 1 = 1

    f ' = 2 3 x - 1 / 3 ⇒ f ' 1 = 2 3

    f ' ' = - 2 9 x - 4 3 ⇒ f ' ' 1 = - 2 9

    f ' ' ' x = 8 27 x - 7 / 3 ⇒ f ' ' ' 1 = 8 27

    Então nosso polinômio é

    T 3 = 1 + 2 3 x - 1 - 2 9 ⋅ 2 ! x - 1 2 + 8 27 ⋅ 3 ! x - 1 3

    T 3 = 1 + 2 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2 + 4 81 x - 1 3

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da quarta derivada

    f ' ' ' ' x = - 56 81 x - 10 / 3 = - 56 81 x 10 / 3

    Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo 0 , 8 ≤ x ≤ 1 , 2 , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de f ' ' ' ' x está crescente, porém é negativa, então em módulo para pegarmos o maior valor da função, precisamos do menor valor do intervalo ( 0 , 8 ) e substituirmos, podemos dizer que

    f ' ' ' ' x ≤ f ' ' ' ' 0 , 8 ,                     x ∈ [ 0 . 8 , 1 . 2 ]

    Então podemos usar

    M = f ' ' ' 0 , 8 = - 56 81 ( 0,8 ) 10 / 3 = 56 81 ⋅ 0,4753 … = 1,454571 …

    Passo 3

    Temos então que

    R 3 x ≤ 1,454571 4 ! x - 1 4

    Agora precisamos do valor de x - 1 4 , se manipularmos o intervalo 0 , 8 ≤ x ≤ 1 , 2 subtraindo 1 em todas as partes da igualdade

    - 0 , 2 ≤ x - 1 ≤ 0 , 2

    Podemos colocar em módulo

    x - 1 ≤ 0 , 2

    Elevando a quarta potencia

    x - 1 4 ≤ 0,0016

    Logo

    R 3 x ≤ 1,454571 4 ! ( 0,001 6 )

    R 3 x ≤ 1,454571 4 ! 0,0016 = 9,7 × 10 - 5

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 3 = x 2 / 3 - T 3

R 3 = x 2 / 3 - 1 + 2 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2 + 4 81 x - 1 3

R 3 = x 2 / 3 - 1 + 2 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2 + 4 81 x - 1 3

No plano

Pelo gráfico parece que o erro é menor que 5,5 × 10 - 5 .

Resposta

  1. T 3 = 1 + 2 3 x - 1 - 1 9 x - 1 2 + 4 81 x - 1 3
  2. R 3 x ≤ 9,7 × 10 - 5
  3. y = | R 3 ( x ) |

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