Enunciado

1-Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:

a) f x ,   y = x   s e n   y

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z   =   f ( x , y ) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   s e n   y

∂ f ∂ y =   x cos ⁡ y

Assim,

s e n   y = 0 x cos ⁡ y = 0

Agora, (in)felizmente temos um sistema para resolver.

Na segunda equação, temos isso aqui:

x   c o s   y = 0

x = 0

Já na primeira equação, temos:

s e n   y = 0

y = k π ,   k   ϵ   Z

Cara, você pode estar se perguntando porque não considerar o cos ⁡ y = 0 ,   né?!

Olha para cos ⁡ y = 0 ,   temos:

2 k π ,   k   ϵ   Z

Mas para esses valores de y o s e n   y não zera, o que nos traz um problema. Mas na segunda equação temos um valor de x que pode zerar a expressão. Assim, o cosseno não precisa necessariamente ser zero. Ok ?!

Portanto, nosso ponto crítico é: 0 , k π , .

Vamos para a próxima etapa do exercício que é classificar esse ponto crítico.

Passo 3

Para classificarmos os pontos críticos, ou seja, determinar se eles são pontos máximos ou mínimos vamos usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

A primeira coisa pra resolver essa matriz é encontrar as derivadas parciais. Então, vamos lá!

∂ 2 f ∂ x 2 x , y = 0

∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   x , y = cos ⁡ y

            ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   x , y = cos ⁡ y          

∂ 2 f ∂ y 2 x , y = - x   s e n   y

Passo 4

Resolvendo a matriz para o ponto 0 , k π :

H   0 , k π = 0 cos ⁡ y         cos ⁡ y         0    

H 0 , k π =   - cos 2 ⁡ y

Gente, não temos um valor especifico para y , mas sabemos que para qualquer y :

- cos 2 ⁡ y < 0

Afinal, o que isso quer dizer ????

Bom, como H 0 , k π < 0 este é um ponto de sela.

Resposta

  0 , k π   é um ponto de sela.

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