1.

Considere a função

f x , y = e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2

Encontre todos os pontos críticos de f x , y .

Resolução
2.

Suponha que a função f ( x , y , z ) tem um ponto crítico em ( x 0 , y 0 , z 0 ) no espaço. Se a > 0 e b > 0 são números reais positivos, então a função g x , y , z = a f x , y , z + b tem um ponto crítico em

(a) x 0 , y 0 , z 0

(b) a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(c) 1 a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(d) a x 0 , y 0 , z 0 + b

(e) a informação é insuficiente

Resolução
3.

Seja f x , y = 1 - x 2 + 4 x y - y 2 . Identifique o(s) ponto(s) crítico(s) de f .

Resolução
4.

Mostre que 0 ,   0 é um ponto crítico de f x , y = x 2 + k x y + y 2 , não importando o valor da constante k .

Resolução
5.

Suponha que uma função f ( x , y ) seja diferenciável em todo o plano R 2 e tenha um único ponto crítico em x 0 , y 0 , com x 0 , y 0 > 0 . Então podemos garantir que a função

g x , y = f x 2 , y 2

  1. Possui exatamente dois pontos críticos, em ( 0,0 ) e x 0 , y 0
  2. Possui pelo menos cinco pontos críticos
  3. Possui um único ponto crítico em 0,0
  4. Possui um único ponto crítico em x 0 2 ,   y 0 2
  5. Possui exatamente dois pontos críticos, em ( 0,0 ) e x 0 2 ,   y 0 2
Resolução
6.

Suponha que a função f ( x , y , z ) tem um ponto crítico em ( x 0 , y 0 , z 0 ) no espaço. Se a > 0 e b > 0 são números reais positivos, então a função g x , y , z = a f x , y , z + b tem um ponto crítico em

(a) x 0 , y 0 , z 0

(b) a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(c) 1 a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(d) a x 0 , y 0 , z 0 + b

(e) a informação é insuficiente

Resolução
7.

Seja f u , v = u 3 - u v 2 + 6 v , com u x , y e v x , y de classe C 1 em R 2 . Suponha que x 0 , y 0 é ponto crítico de g x , y = f u x , y , v x , y , u x 0 , y 0 = 1 e v x 0 , y 0 = 2 . Sabendo que δ u δ x x 0 , y 0 = - 1 e δ v δ y x 0 , y 0 = 1 , calcule δ v δ x x 0 , y 0 e δ u δ y x 0 , y 0 .

Resolução
8.

Considere a função

f x , y = x y e x y

Encontre todos os pontos críticos da função f ( x , y ) , determinando o conjunto de pontos críticos de f .

Resolução
9.

Dada a função f x , y = 2 x y - x 3 3 - y 2 + 15 x , determine os seus pontos críticos e classifique-os.

Resolução
10.

Questão 1

b) Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por quê ou dê um exemplo que mostre que é falsa. Se f tem um mínimo local em a , b e f é diferenciável em a , b , então ∇ f a , b = 0

Resolução
11.

Considere a função

f x , y = e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 ,     x , y ∈ R 2

  1. Explicite as coordenadas de um vetor normal não nulo N ao gráfico de f em um ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0
  2. Encontre todos os pontos críticos de f x , y
  3. Encontre todos os pontos x , y tais que o normal N ao gráfico em x , y , f x , y seja paralelo ao vetor 0,0 , - 3
Resolução
12.

Seja f x , y = x 2 4 - cos ⁡ y .   6 - x 2 , em que x ∈ - 6 , 6 , y ∈ π 2 , 3 π 2 .

E seja α t = 1 , t , com t ∈ π 2 , 3 π 2 .

  1. Calcule o gradiente e os pontos críticos de f .
  2. Seja g t = f α t = f x t , y t ,   t ∈ π 2 , 3 π 2 . Calcule g ' t e os pontos críticos de g .
  3. Escreva a equação cartesiana do plano tangente ao gráfico de f no ponto P = 1 , π , 1 4 + 5 . Explicite um vetor normal não nulo N ao plano tangente neste ponto.
Resolução
13.

Considere a função

f x , y = x 2 - 1 y 2 - 1 ,         x , y ∈ R 2

Encontre os pontos críticos de f .

Resolução
14.

Considere a função f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y .

  1. Calcule o vetor gradiente de f .
  2. Encontre os pontos críticos de f
  3. Encontre os pontos do gráfico de f onde o plano tangente é paralelo ao plano x y .
  4. Escreva a aproximação linear L x , y de f no ponto 1,2
  5. Determine apenas um ponto do gráfico de f onde a reta normal é paralela ao vetor 1 , - 1 , 1 2 . Dica: uma reta r é normal ao gráfico de uma função no ponto P do gráfico se a reta passa por este ponto e se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal de f em P .
  6. Considere a curva de nível C : x 2 - 2 x y + y 3 - y = 3 . Exiba a equação paramétrica da reta tangente γ a C no ponto 1 , - 1 .
Resolução
15.

Seja f x , y = x 2 + 2 x y - y 3 no domínio de R 2 . Então, o número de pontos críticos de f x , y é:

a 0

b 1

c 3

d 4

e 2

Resolução

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