Responde Aí

Enunciado

2-Estude a natureza do ponto crítico das funções abaixo, mostrando que tal ponto tem a propriedade indicada.

a) f x , y = x - y 4 + x + y + 2 2 , ponto de mínimo.

Passo 1

Bom, para estudar a natureza dos pontos críticos, primeiro vamos encontrá-los. Para encontrá-los precisamos resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 4 x - y 3 + 2 x + y + 2 = 0 ∂ f ∂ y = - 4 x - y 3 + 2 x + y + 2 = 0  

Da segunda equação temos que:

∂ f ∂ y = - 4 x - y 3 + 2 x + y + 2 = 0 ↔ 2 x + y + 2 = 4 x - y 3

Agora substituimos a equação acima na primeira equação do nosso sistema, daí obtemos:

∂ f ∂ x = 4 x - y 3 + 2 x + y + 2 = 0 → 2 x + y + 2 + 2 x + y + 2 = 0 → 4 x + y + 2 = 0 ↔ x + y = - 2 ↔ x = - ( 2 + y )

Esse é nosso conjunto de pontos críticos. Como não podemos analisar todos os pontos vamos aplicar o teste da segunda derivada. Para isso vamos calcular as segundas derivadas de f .

A = ∂ 2 f ∂ x 2 = 12 x - y 2 + 2 ,   B = ∂ 2 f ∂ x ∂ y = - 12 x - y 2 ,   C = ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 x - y 2 + 2

Agora vamos calcular B 2 - A C e ver se satisfaz alguma das hipóteses do teste da segunda derivada (lembrando que x = - ( 2 + y ) ):

B 2 - A C = - 12 x - y 2 2 - 12 x - y 2 + 2 2 = 144 x - y 4 - 144 x - y 4 - 24 x - y 2 + 4 = - 24 x - y 2 + 4

Como x = - ( 2 + y ) , temos:

- 24 x - y 2 + 4 = - 24 - 2 y - 2 2 + 4 < 0 ,   s e   y ≠ - 1

Como A > 0 e no nosso domínio existem pontos tal que B 2 - A C < 0 , então existem pontos onde f assume mínimo relativo.

Resposta

Verificação acima.

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