1.Calcule.

A) ∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. E chamaremos tan ⁡ x de u :

tan ⁡ x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( tan ⁡ x ) '   = ( u ) '

sec 2 ⁡ x   d x = d u

Passo 2

Anotando aquilo que já obtemos:

tan ⁡ x = u

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

sec 2 ⁡ x   d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x = ∫ u d u

Passo 3

A integral acima é imediata, lembra? Não, então toma essa colher de chá ( ∫ u n d u   =   1 n + 1 u n + 1 + c ) e para nossa integral, n = 1

∫ u d u = 1 2 u 2 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( tan ⁡ x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x = 1 2 tan 2 ⁡ x + c

Resposta

∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x   d x = 1 2 tan 2 ⁡ x + c

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