Enunciado

2.Calcule:

int_0^1 (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

A mudança é chamarmos 1 + x^2 de u

u = 1 + x^2

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

(u)^' = (1 + x^2) '

d u = 2 x d x

Isolando x d x , para facilitar a visualização:

x d x = (d u)/(2)

Passo 2

Agora que temos tudo em função de u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores:

u = 1 + x^2

x d x = (d u)/(2)

int (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x = int (d u)/(2 sqrt(u))

Sendo (1)/(2) constante, o colocaremos para fora e calcularemos a primitiva :

int (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x = (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u

int (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x = sqrt(u) + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!! ( u = 1 + x^2 ), temos:

int (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x = sqrt(1 + x^2) + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_0^1 (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x = sqrt(1 + (1)^2) - (sqrt(1 + (0)^2))

int_0^1 (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x = sqrt(2) - 1

Resposta

int_0^1 (x)/(sqrt(1 + x^2)) d x = sqrt(2) - 1

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