2.Calcule:

∫ 0 1 x 1 + x 2 d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando que de antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

A mudança é chamarmos 1 + x 2 de u

u = 1 + x 2

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

u ' = 1 + x 2 '

d u = 2 x d x

Isolando x d x , para facilitar a visualização:

x d x = d u 2

Passo 2

Agora que temos tudo em função de   u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores:

u = 1 + x 2

x d x = d u 2

∫ x 1 + x 2 d x =   ∫ d u 2 u

Sendo 1 2 constante, o colocaremos para fora e calcularemos a primitiva :

∫ x 1 + x 2 d x = 1 2 ∫ u - 1 2 d u

∫ x 1 + x 2 d x = u + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral!!! ( u = 1 + x 2 ), temos:

∫ x 1 + x 2 d x = 1 + x 2 + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

∫ 0 1 x 1 + x 2 d x =   1 + 1 2 - 1 + 0 2  

∫ 0 1 x 1 + x 2 d x =   2 - 1

Resposta

∫ 0 1 x 1 + x 2 d x =   2 - 1

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