Enunciado

1-Encontrar, se existirem, os pontos de máximo e de mínimo globais das funções:

a)   z = s e n   x + cos ⁡ y

Passo 1

Galera, a primeira coisa que temos que fazer é encontrar os pontos críticos dessa função. Para identificar esses pontos temos que resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x = cos ⁡ x

∂ f ∂ y =   - s e n   y

Assim,

cos ⁡ x = 0

-   s e n   y = 0

Logo, temos os seguintes de x e y para pontos críticos:

X = Π 2 +   2   k   Π e 3 Π 2 +   2   k   Π

Y = 2   n   Π e ( 2   n + 1 )   Π

Gente, os ângulos de 90 ° e 270 ° são os valores de x para os quais o cosseno é zero, assim como os ângulos de 360 ° e 180 ° são os valores de y para os quais o seno é zero. Dessa forma, temos os seguintes pontos críticos:

(   Π 2 +   2   k   Π , 2   n   Π ), o n d e   K   e   n   ϵ   Z

  3 Π 2 +   2   k   Π ,   2   n + 1   Π   ,   o n d e   K   e   n   ϵ   Z

OKKKKK, mas a questão não para aí. A questão pediu pra gente determinar os pontos máximos e mínimos, bom, nós já vimos que essa função tem um ponto crítico, agora nos resta saber se ele é máximo ou mínimo.

Passo 3

Para determinarmos os pontos máximos e mínimos temos que usar a matriz hessiana:

H   x , y = ∂ 2 f ∂ x 2 ( x , y ) ∂ 2 f   ∂ y   ∂ x   ( x , y )           ∂ 2 f   ∂ x   ∂ y   ( x , y )           ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )        

H   x , y = -   s e n   x 0           0           - cos ⁡ y    

Assim, temos que :

H   Π 2 +   2   k   Π ,   2   n   Π     = 1   e H   3 Π 2 +   2   k   Π ,   2   n + 1   Π   = 1  

Afinal, o que isso quer dizer ????

Bom, como H     Π 2 +   2   k   Π ,   2   n   Π     > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2   Π 2 +   2   k   Π ,   2   n   Π     < 0 , então   Π 2 +   2   k   Π ,   2   n   Π     é um ponto de máximo local de f.

H       3 Π 2 +   2   k   Π ,   2   n + 1   Π       > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2   3 Π 2 +   2   k   Π ,   2   n + 1   Π     > 0 , então 3 Π 2 +   2   k   Π ,   2   n + 1   Π     é um ponto de mínimo local de f.

Passo 4

De acordo com o gráfico da função apresentada abaixo, podemos perceber que os máximos e mínimos locais também são globais.

Resposta

  Π 2 +   2   k   Π ,   2   n   Π     é um ponto de máximo global de f.

3 Π 2 +   2   k   Π ,   2   n + 1   Π     é um ponto de mínimo global de f.

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1-Encontrar, se existirem, os pontos de máximo e de mínimo globais das funções:c)z = x + y + 4
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