Enunciado

Nos exercícios 3 a 16, determinar os pontos críticos das funções dadas.

13-   z = cos ⁡   2 x + y

Passo 1

Galera, o que nós temos que fazer aqui é resolver o seguinte sistema:

∂ f ∂ x = 0  

∂ f ∂ y = 0  

Ou seja, as derivadas parciais da função z = f(x,y) tem que ser iguais a zero.

Passo 2

Dessa forma, temos que:

∂ f ∂ x =   - 2   s e n   ( 2 x + y )

∂ f ∂ y =   - s e n   ( 2 x + y )

Gente, o que vai fazer com que qualquer uma dessas derivadas seja zero é o ângulo do seno. Como os termos que representam o ângulo são os mesmos para as duas derivadas, temos:

2 x + y = 0

Admitindo o x como um número qualquer:

2 a + y = π + 2 k π

Assim,

y =   - 2 a + π + 2 k π

Ou

2 a + y = 2 π + 2 k π

Assim,

y =   - 2 a + 2 π + 2 k π

Ou seja, temos os seguintes valores para o y:

- 2 a + π + 2 k π   o u   - 2 a + 2 π + 2 k π  

No entanto, podemos juntar essas duas em um só:

- 2 a + k π ,   k   ϵ   Z

Logo, temos um ponto crítico : a , - 2 a + k π ,     a   ϵ   R   e   k   ϵ   Z

Resposta

a , - 2 a + k π ,   a   ϵ   R   e   k   ϵ   Z  

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