Enunciado

O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo da reta é dado pela equação s = t 2 - 8 t + 18 , onde t é medido em segundos.

( a ) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo:

( i ) 3,4 ( i i ) 3,5 , 4 ( i i i ) 4,5 ( i v ) 4,4 , 5

( b ) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4 .

( c ) Faça o gráfico de s como função de t e desenhe as retas secantes cujas inclinações sejam as velocidades médias da parte ( a ) , e a reta tangente cuja inclinação seja a velocidade instantânea da parte ( b ) .

Passo 1

Fala aí, belezinha?

Bom, essa questão dá pra gente uma função de deslocamento de uma partícula ao longo do tempo, expressa por:

s = t 2 - 8 t + 18

E pede para que a gente analise algumas coisas sobre esse movimento.

Vamos dividir cada um dos itens pedidos em passos para entender melhor o que fazer.

Vem que te ajudo com isso.

Passo 2

O item a) pede para que encontremos a velocidade média em cada um dos intervalos dado.

( i ) 3,4 ( i i ) 3,5 , 4 ( i i i ) 4,5 ( i v ) 4,4 , 5

A velocidade média pode ser calculada fazendo:

V m = ∆ s ∆ t = s 2 - s 1 t 2 - t 1

Assim, precisaremos saber as posições do móvel em cada instante dado, e então poderemos aplicar essa fórmula aí para cada um dos casos.

Organizarei os espaços por instante de tempos!

Para t = 3

s 3 = ( 3 ) 2 - 8 ( 3 ) + 18 = 3 m

Para t = 3,5

s 3,5 = ( 3,5 ) 2 - 8 ( 3,5 ) + 18 = 2,25 m

Para t = 4

s 4 = ( 4 ) 2 - 8 ( 4 ) + 18 = 2 m

Para t = 4,5

s 4,5 = ( 4,5 ) 2 - 8 ( 4,5 ) + 18 = 2,25 m

Para t = 5

s 5 = ( 5 ) 2 - 8 ( 5 ) + 18 = 3 m

Agora que já temos todas as posições que precisamos, basta calcular a velocidade média para cada intervalo. Assim:

Calculando a velocidade de ( i ) :

V i = s 4 - s 3 4 - 3 = 2 - 3 4 - 3 = - 1,0 m / s

Calculando a velocidade de ( i i ) :

V i i = s 4 - s 3,5 4 - 3,5 = 2 - 2,25 4 - 3,5 = - 0,5 m / s

Calculando a velocidade de ( i i i ) :

V i i i = s 5 - s 4 5 - 4 = 3 - 2 5 - 4 = 1,0 m / s

Calculando a velocidade de ( i v ) :

V i v = s 4,5 - s 4 4,5 - 4 = 2,25 - 2 4,5 - 4 = 0,5 m / s

E prontinho. Letra a) resolvida.

Passo 3

O item b) pede pra gente calcular a velocidade instantânea pata t = 4 s .

Bom, a velocidade instantânea é dada por:

v ( a ) = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Então, vamos calcular a velocidade instantânea no instante t = 4 fazendo

v ( 4 ) = lim h → 0 ⁡ s ( 4 + h ) - s ( 4 ) h

s 4 + h = 4 + h 2 - 8 4 + h + 18 =

s 4 + h = 16 + 8 h + h 2 - 32 - 8 h + 18

s 4 + h = h 2 + 2

E lembrando que s ( 4 ) = 2 , já calculado anteriormente.

Colocando tudo na expressão do limite, temos:

v 4 = lim h → 0 ⁡ h 2 + 2 - 2 h

= l i m h → 0 h 2 h

= l i m h → 0 ( h ) = 0

E foi, velocidade instantânea igual a zero para t = 4 s .

Passo 4

O item pede pra gente fazer o gráfico de s como função de t e desenhe as retas secantes cujas inclinações sejam as velocidades médias da parte ( a ) , e a reta tangente cuja inclinação seja a velocidade instantânea da parte ( b ) .

Bom, para isso precisaremos do gráfico de s = t 2 - 8 t + 18 , que é uma parábola com concavidade voltada para cima, dada por:

Do item a) teremos:

A reta A B tem inclinação igual velocidade média ( i )

A reta C B tem inclinação igual velocidade média ( i i )

A reta B D tem inclinação igual velocidade média ( i i i )

A reta B E tem inclinação igual velocidade média ( i v )

E do item b) teremos:

A reta que passa pelo ponto B tem inclinação zero, que a igual a velocidade instantânea no ponto t = 4 s

Resposta

( a )

V i = - 1,0 m / s

V i i = - 0,5 m / s

V i i i = 1,0 m / s

V i v = 0,5 m / s

( b )

v ( 4 ) = 0

( c )

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Dada a função f x = 1 2 x - 6 , verificar se existe f ' 3 . Esboçar o gráfico.