Enunciado

Simular graficamente diferentes retas tangentes à curva y = x 2 . Supondo que existem duas retas tangentes que passam pelo ponto P ( 0 , - 4 ) , encontrar o ponto de tangência e as equações das retas.

Passo 1

Galera, vamos supor que o ponto de tangência x = a . Assim, a declividade das retas tangentes que passam por esse ponto é dada por:

y ' = 2 x

y ' a = 2 a = m

O gráfico a seguir mostra a simulação assumindo os valores: - 2 ,   - 1 ,   - 1 2 , 0 , 1 2   e   2 .

Podemos observar que duas retas passam pelo ponto P ( 0 , - 4 ) . A equação da reta tangente é obtida fazendo:

y - y 0 = m x - x 0

y + 4 = 2 a x - 0

y + 4 = 2 a x

Passo 2

A reta também passa pelo ponto ( a , a 2 ) :

a 2 + 4 = 2 a a

a 2 + 4 = 2 a 2

a 2 = 4

a = ± 2

Assim, temos:

a = 2 → y = 4 x - 4         p o n t o   d e   t a n g ê n c i a : ( 2,4 )

a = - 2 → y = - 4 x - 4         p o n t o   d e   t a n g ê n c i a : ( - 2,4 )

Resposta

As equações das retas tangentes são:

y = 4 x - 4

y = - 4 x - 4

Os pontos de tangência são:

2,4   e   ( - 2,4 )

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59) Prove que não há reta que passe pelo ponto (1,5) e seja tangente à curva y = 4 x 2 .