Enunciado

25-26. Uma partícula move-se ao longo de uma reta com equação do movimento s = f ( t ) , onde s é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade quando t = 2 s .

26. f ( t ) = 2 t 3 - t + 1

Passo 1

Olá, meu colega. Tudo bem? Vamos para mais uma resolução.

Aqui a gente tem que encontrar a velocidade da partícula no tempo t = 2 tendo em mãos apenas a sua equação do deslocamento.

Já sabemos das seções anteriores que a velocidade de uma partícula num instante t = a é:

v ( a ) = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que a função f ( t ) é a função do movimento!

Não sabia disso? Então anote isso, pois vai te ajudar bastante.

Passo 2

Para nossa questão o a = 2 , então:

v ( 2 ) = lim h → 0 ⁡ f ( 2 + h ) - f ( 2 ) h

Anotando os valores numéricos dessas funções para não se embolar, vamos lá:

f 2 + h =   2 2 + h 3 - 2 + h + 1

Realizando o produto notável:

f 2 + h = 2 ( 8 + 12 h + 6 h 2 + h 3 ) - 2 - h + 1

Realizando a distributiva:

f 2 + h = 16 + 24 h + 12 h 2 + 2 h 3 - 1 - h

Simplificando termos semelhantes:

f 2 + h = 2 h 3 + 12 h 2 + 23 h + 15

f ( 2 ) =   2 ( 2 ) 3 - ( 2 ) + 1 = 15

Passo 3

Substituindo tudo na expressão do limite, temos:

v 2 = lim h → 0 ⁡ 2 h 3 + 12 h 2 + 23 h + 15 - 15 h

Simplificando:

v ( 2 ) = lim h → 0 ⁡ 2 h 3 + 12 h 2 + 23 h h

Simplificando o h de cima com o h de baixo, temos:

v 2 = l i m h → 0 2 h 2 + 12 h + 23

Agora podemos calcular o limite substituindo o h :

v ( 2 ) = 23   m / s

Resposta

v ( 2 ) = 23   m / s

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Dado que f - 2 = 3 e f ' - 2 = - 4 , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f x no ponto x = - 2 .
Dado que a reta tangente a y = f x no ponto 1,2 passa pelo ponto - 1 , - 1 , encontre f ' 1 .
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = - 1 , f ' 0 = 0 , f ' x0 se x0 e f ' x0 se x0 .
Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .y = (1)/(x)
Para a função cujo gráfico está na figura abaixo, arranje os números 0 , f ' - 3 , f ' 0 , f ' 2 e f ' 4 em ordem crescente.