Enunciado

21. Inscreva um polígono regular de n lados dentro de um círculo de raio 1 e calcule a área do polígono para os seguintes valores de n :

a. 4 (quadrado)

b. 8 (octógono)

c. 16

d. Compare as áreas obtidas nos itens (a), (b) e (c) com a área do círculo.

Passo 1

a.

Vamos desenhar o quadrado dentro do circulo:

No desenho eu chamei o lado daquel triangulo de a , então o lado do nosso quadrado vale 2 a , consequentemente a área do quadrado vale:

A q u a d r a d o = 2 a 2

A q u a d r a d o = 4 a 2

Passo 2

Para descobirmos quanto vale a área, precisamos descobrir quanto vale a . E isso é fácil só usar pitagoras naquele triângulo, em que a hipotenusa dele é igual ao raio do circulo:

1 2 = a 2 + a 2

2 a 2 = 1

a 2 = 1 2

a = 1 2

a = 1 2

a = 2 2

Prontinho, agora é só substituir na equação da área do quadrado:

A q u a d r a d o = 4 2 2 2

A q u a d r a d o = 4 2 4

A q u a d r a d o = 2

Passo 3

b.

Vamos fazer a mesma coisa da letra (a), desenhar o octógono dentro do circulo:

Perceba que vamos ter 8 triângulos isósceles iguais dentro desse octógono, vamos calcular a área de um deles e multiplicar por 8 para descobrirmos a área total.

A área de uma triângulo é igual a

A t r i â n g u l o = b a s e ⋅ a l t u r a 2

Se desenharmos todos os ângulos θ um do lado do outro, vamos perceber que precisamos de 16 angulos θ para completarmos uma volta inteira, 360 ° . Ou seja,

θ = 360 ° 16  

θ = 22,5 °

O lado maior do triângulo é igual ao raio do circulo.

A altura do triângulo é igual ao lado maior do vezes o cosseno de θ :

h = 1 . cos ⁡ θ

h = cos ⁡ 22,5

h = 0,92388

Já a metade da base do triângulo é igual ao lado maior vezes o seno de θ :

a 2 = 1 ⋅ sen ⁡ θ

a = 2 sen ⁡ 22,5

a = 0,76537

Com isso descobrimos a área do triângulo:

A t r i â n g u l o = a ⋅ h 2

A t r i â n g u l o = 0,76537 ⋅ 0,92388 2

A t r i â n g u l o = 0,35356

E a área do octógono será:

A o c t ó g o n o = 8 ⋅ A t r i â n g u l o

A o c t ó g o n o = 8 ⋅ 0,35356

A o c t ó g o n o = 2,8284

Passo 4

c.

Como nas duas ultimas letras, vamos desenhar o polígono dentro do criculo:

Nesse caso nós vamos ter 16 triângulos isósceles e vamos usar do mesmo método anterior para calcular sua área.

A p o l i g o n o = 16 ⋅ A t r i â n g u l o

Diferente da letra (b) em que precisamos de 16 ângulos θ   somados para conseguirmos os 360°, aqui vamos precisar de 32, então:

θ = 360 ° 32

θ = 11,25 °

O lado maior do triâgulo continua sendo igual ao raio.

E a altura e base são calculadas da mesma forma:

h = 1 . cos ⁡ θ

h = cos ⁡ 11,25

h = 0,98079

e

a 2 = 1 ⋅ sen ⁡ θ

a = 2 sen ⁡ 11 , 25

a = 0 , 39018

Sua área vai ser de:

A t r i â n g u l o = a ⋅ h 2

A t r i â n g u l o = 0,39018 ⋅ 0,98079 2

A t r i â n g u l o = 0 , 19134

E a área do polígono:

A p o l i g o n o = 16 ⋅ A t r i â n g u l o

A p o l i g o n o = 16 ⋅ 0,19134

A p o l i g o n o = 3,0615

Passo 5

d.

A área do circulo é

A c í r c u l o = π r 2

seu raio é 1, então:

A c í r c u l o = π 1 2

A c í r c u l o = π = 3,1415

Podemos observar que as áreas dos polígonos são menores que a área total do círculo, mas a medida que o numero de lados desses poligonos cresce, mais a área do polígono se aproxima da área do círculo.

Resposta

a. A q u a d r a d o = 2

b. A o c t ó g o n o = 2,8284

c. A p o l i g o n o = 3,0615

d. A medida que o numero de lados desses poligonos cresce, mais a área do polígono se aproxima da área do círculo.

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