Enunciado

2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência.

2 3 - 2 5 + 2 7 - 2 9 + 2 11 - …

Passo 1

Antes de testarmos se a série converge ou diverge, temos que escrever uma expressão pra sequência que nos foi dada, certo? Podemos notar algumas coisas se olharmos pra essa sequência: a primeira é que há alternância entre os sinais, a segunda é que o numerador não muda e a terceira é que o denominador é composto de números ímpares. Escrevendo uma série, teremos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 2 n + 1

Tudo bem, uma vez que isso foi estabelecido, agora devemos utilizar o teste da série alternada, isto é, provar que a série de formato genérico abaixo satisfaz duas condições:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se for satisfeito, então a série converge. Caso contrário, diverge. Então bora lá!

Passo 2

Testando a primeira condição, ou seja, de que a sequência é decrescente:

f n = 2 2 n + 1

f ' n = 0 . 2 n + 1 - 2.2 2 n + 1 ² = - 4 2 n + 1 2 < 0

De fato a sequência é decrescente, uma vez que há um sinal negativo e porque o denominador é quadrático, isto é, sempre vai ser positivo. Agora testando a segunda condição:

lim n → ∞ ⁡ 2 2 n + 1

Dividindo tudo por n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 n n + 1 n = 0

Sendo assim, podemos concluir que a série em questão é convergente.

Resposta

2 3 - 2 5 + 2 7 - 2 9 + 2 11 - … é   c o n v e r g e n t e

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Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 8 n
Mostre que a serie e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisao indicada? |erro| ≤ 0,0001 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n . 5 n
Aproxime a soma da serie com a precisao de quatro casas decimais: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 5
Mostre que a série e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada: ∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n . n ! e e r r o ≤ 0,000005
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n