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Mostre que a série e convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada: ∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n . n ! e e r r o ≤ 0,000005

Passo 1

Escrevendo o termo geral na forma: - 1 n 1 10 n . n ! . Considerando a sequencia b n = 1 10 n . n !   e descrescente conforme n tende ao infinito, já que o numerador permanece postivo e aumenta em modulo, e também que lim n → ∞ ⁡ b n   = 0 . Portanto, pelo Teste da Convergência Alternada, serie converge.

Passo 2

Escrevendo explicitamente alguns termos da série, temos:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 10 n . n ! =   1 - 1 10 + 1 10 2 . 2 ! - 1 10 3 . 3 ! + 1 10 4 . 4 ! - …

Temos que 1 10 3 . 3 !   = 1 6000 ≃   0,00016 , 1 10 4 . 4 !   = 1 240000 ≃ 0,0000041 .

Contando a partir do zero, o quinto termo da sequencia b n possui modulo menor que o erro, pelo Teorema do Erro de Series Alternadas, se aproximarmos a serie usando os quatro primeiros termos, o valor será aceitável.

Resposta

Aproximando usando os quatro primeiros termos.

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