Enunciado

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Vamos verificar a convergencia absoluta:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n = ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

Pela relação ln ⁡ n < n , vale que 1 ln ⁡ n > 1 n . Portanto, pelo teste de comparação, como a serie harmônica diverge, temos que a serie em questão também diverge.

Logo, ela não converge absolutamente.

Passo 2

Vamos verificar a convergência da serie alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Colocando b n = 1 ln ⁡ n e usando que a função logarítmica e crescente e lim n → + ∞ ⁡ ln ⁡ n =   + ∞ ⁡ , temos que a sequencia b n e decrescente e lim n → + ∞ ⁡ b n = 0 .

Portanto, pelo teste da sequencia alternada, a serie converge.

Como ela converge, mas não e absolutamente convergente, a serie e condicionalmente convergente.

Resposta

A serie e condicionalmente convergente.

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