Enunciado

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

32. a n = e 2 n n + 2

Passo 1

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Sendo assim, aplicando o limite na sequência em questão, teremos:

lim n → ∞ ⁡ e 2 n n + 2

Para resolvermos esse limite, vamos aplica-lo apenas no expoente da função exponencial, tudo bem? Fazendo isso, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 2

Dividindo todos os membros pelo maior grau do denominador, que nesse caso é n , teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n n n n + 2 n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 2 n

Como o limite de uma constante é a própria constante e o limite de um número dividido por algo muito grande se aproxima de 0, então teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 2 n = 2 1 + 0 = 2

Passo 2

Tudo bem, agora que descobrimos o limite do expoente de e , podemos fazer o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ e 2 n n + 2 = e lim n → ∞ ⁡ 2 n n + 2

E como acabamos de calcular o limite em questão, teremos:

lim n → ∞ ⁡ e 2 n n + 2 = e ²

Sendo assim, a conclusão é de que a sequência converge.

Resposta

a n = e 2 n n + 2   é   c o n v e r g e n t e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = e 1 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. n 2 e - n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n + 1 9 n + 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 2 1 + 3 n n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = c o s 2 n 2 n